Областная олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс

Дан остроугольный треугольник $A B C$. Пусть $D, E, F$ середины сторон $B C, C A, A B$ соответственно. Прямая $E F$ пересекает описанную окружность $A B C$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $A P$ и $A Q$ пересекают прямую $B C$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что центроид треугольника $A X Y$ лежит на радикальной оси окружностей описанных около треугольников $D X P$ и $D Y Q$.

Комментарий/решение

1) По теореме Микеля вторая точка $R$ пересечения $DXP$ и $DYQ$ лежит на описанной окружности $ABC$. Пусть $RD\cap\omega(ABC)=K$ и $S,T,N$ - середины $AK,PQ,XY$, соответственно, а также $RD\cap AT=M$

2) Счётом углов получаем $AK||PQ||BC$, и серперы к ним проходят через центр $\omega(ABC)$, значит они совпадают. Докажем, что $AM:MN=2:1$, из $\triangle AMK\sim \triangle NMD$ это равносильно $AK:DN=2:1\Leftrightarrow AS=DN$.

3) По замечательному свойству трапеции $XPQY$ точки $A,T,N$ лежат на одной прямой. Прямая $PQ$ равноудалена от $AK,BC$, поэтому $TS=TD, AT=TN$, откуда $\triangle ATS=\triangle NTD$ по гипотенузе и катету. Следовательно $AS=DN$, что требовалось доказать