Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 11 сынып

$A B C$ сүйір бурышты үшбурышы берілсін. $D, E, F$ нүктелері сәйкесінmе $B C, C A, A B$ қабырғаларының ортасы. $E F$ түзуі $A B C$ үшбүрышына сырттай сызылған шеңберін $P$ және $Q$ нүктелерінде қисын. $A P$ және $A Q$ түзулері $B C$ түзуін сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қисыгн. $A X Y$ үшбурышының центроиды $D X P$ және $D Y Q$ үшбурыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің радикалдық осінің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

1) По теореме Микеля вторая точка $R$ пересечения $DXP$ и $DYQ$ лежит на описанной окружности $ABC$. Пусть $RD\cap\omega(ABC)=K$ и $S,T,N$ - середины $AK,PQ,XY$, соответственно, а также $RD\cap AT=M$

2) Счётом углов получаем $AK||PQ||BC$, и серперы к ним проходят через центр $\omega(ABC)$, значит они совпадают. Докажем, что $AM:MN=2:1$, из $\triangle AMK\sim \triangle NMD$ это равносильно $AK:DN=2:1\Leftrightarrow AS=DN$.

3) По замечательному свойству трапеции $XPQY$ точки $A,T,N$ лежат на одной прямой. Прямая $PQ$ равноудалена от $AK,BC$, поэтому $TS=TD, AT=TN$, откуда $\triangle ATS=\triangle NTD$ по гипотенузе и катету. Следовательно $AS=DN$, что требовалось доказать