Processing math: 16%

Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 11 сынып


mn+1n саны жай сан болатындай барлық m және n>2 натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2 года 1 месяца назад #

Классная задача. Хоть и у меня большое решение, оно не содержит идей, так что не бойтесь:

  7
2 года 1 месяца назад #

n>1

заметим что это можно поставить так mn=pn1 заметим что n \equiv 0 \pmod {4} не может и заметим что p\ne 4k+3 (по теореме Жерара) пусть теперь n=2d где k нечет и p=4k+1 \Rightarrow (m^d-1)(m^d+1)=2(4kd+d-1) легко понять что d=1откуда 8k=(m-1)(m+1) откуда (k=3,m=5),(m=3,k=1)\Rightarrow (n,p,m)=(2,13,5);(2,5,3)

теперь у нас n=4k+3 при k\geq1 нет решений тогда n=3\Rightarrow m=2,p=3 если n=4k+1 Опять k\geq 1 не может быть тогда n=1 и тогда для любых m и p но т.к. m,n>2 то нету решений

  0
2 года 1 месяца назад #

p≠4k+3 только если n четное же, и почему легко понять что d=1?

  5
2 года 1 месяца назад #

я это написал про p

  0
2 года 1 месяца назад #

Чтобы решить эту проблему, мы воспользуемся тем фактом, что если p — простой множитель (m^n+1)/n, то p либо равно n, либо имеет вид 2kn+1, где k — натуральное число.

Во-первых, давайте рассмотрим случай, когда n простое число. В этом случае мы знаем, что n делит m ^ n - 1 (по малой теореме Ферма). Таким образом, мы имеем:

м^п + 1 = (м^п - 1) + 2

(м^п + 1)/п = [(м^п - 1)/п] + 2/п

Поскольку n простое число, оно не делит m^n - 1, и, следовательно, n делит (m^n + 1)/2. Это означает, что любой простой множитель (m^n + 1)/n должен быть либо равен n, либо иметь вид 2kn+1.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда n составное. Пусть p — простой множитель числа n. У нас есть:

м ^ п ≡ -1 (по модулю р)

м ^ (2n) ≡ 1 (mod p)

Следовательно, порядок m по модулю p равен либо n, либо 2n. Если это n, то имеем:

м ^ п ≡ -1 (по модулю р)

(м ^ п + 1)/п ≡ 0 (по модулю р)

В противном случае порядок m по модулю p равен 2n, и мы имеем:

м ^ (2n) ≡ 1 (mod p)

(м ^ п) ^ 2 ≡ 1 (по модулю р)

(m ^ n + 1) (m ^ n - 1) ≡ 0 (mod p)

Поскольку p является фактором n, мы имеем:

(м ^ п + 1)/п ≡ 0 (по модулю р)

Следовательно, любой простой множитель (m^n + 1)/n должен быть либо равен n, либо иметь вид 2kn+1, где k — натуральное число.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда n является степенью числа 2, скажем, n = 2^k. В этом случае имеем:

м ^ (2 ^ к) + 1 = (м ^ (2 ^ (к-1)) + 1) (м ^ (2 ^ (к-1)) - 1) + 2

Так как 2 делит n, мы имеем:

(m ^ (2 ^ k) + 1)/n = [(m ^ (2 ^ (k-1)) - 1)/n][(m ^ (2 ^ (k-1))) + 1) /2]

Обратите внимание, что (m^(2^(k-1))) + 1)/2 — нечетное целое число, и, следовательно, любой простой множитель (m^(2^(k-1))) + 1)/2 должно иметь вид 2kn+1, где k — натуральное число. Точно так же любой простой множитель (m ^ (2 ^ (k-1))) - 1) / n должен быть либо равен n, либо иметь форму 2kn + 1.

Следовательно, любой простой множитель (m^n + 1)/n должен быть либо равен n, либо иметь вид 2kn+1, где k — натуральное число. Поскольку n > 2, должен быть хотя бы один простой делитель n, больший 2. Следовательно, любая пара (m, n), удовлетворяющая условию, должна иметь n вида 2^k или простого числа.

В случае, когда n является степенью числа 2, мы можем использовать аналогичный аргумент, чтобы показать, что любой простой множитель (m ^ n - 1)/n должен быть либо равен n, либо иметь форму 2kn+1, где k равно а