Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Задача №1.  В комнате есть $n$ ламп и $k$ выключателей. В начале каждая лампа может быть либо включенной, либо выключенной. Каждая лампа соединена проводом ровно с 2020 выключателями. Нажатие на выключатель изменяет на противоположное состояние каждой лампы, к которой он подключен проводом. Известно, что можно так понажимать на выключатели, что все лампы станут включенными. Докажите, что можно добиться того же результата не более, чем за $\left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ нажатий на выключатели. $\left \lfloor x \right \rfloor$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть $1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ — такие действительные числа, что $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ при любых $1 \le i < j < k \le n$.
 Найдите наибольшее возможное значение $n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Даны простое число $p$ и натуральные $k$ и $r$, причем $r < p$. Известно, что $p^p + 1$ делится на $pk + r$. Докажите, что $k$ делится на $r$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB, BC, CA$ в точках $C_0, A_0, B_0$, соответственно. Пусть точка $M$ — середина отрезка, соединяющего вершину $C_0$ с точкой пересечения высот треугольника $A_0B_0C_0$, точка $N$ — середина дуги $ACB$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $MN$ проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(7)

---