Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Задача №1. В комнате есть

$n$ ламп и

$k$ выключателей. В начале каждая лампа может быть либо включенной, либо выключенной. Каждая лампа соединена проводом ровно с 2020 выключателями. Нажатие на выключатель изменяет на противоположное состояние каждой лампы, к которой он подключен проводом. Известно, что можно так понажимать на выключатели, что все лампы станут включенными. Докажите, что можно добиться того же результата не более, чем за

$\left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ нажатий на выключатели.

$\left \lfloor x \right \rfloor$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ . ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ — такие действительные числа, что

$x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ при любых

$1 \le i < j < k \le n$ .
Найдите наибольшее возможное значение

$n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Даны простое число

$p$ и натуральные

$k$ и

$r$ , причем

$r < p$ . Известно, что

$p^p + 1$ делится на

$pk + r$ . Докажите, что

$k$ делится на

$r$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается сторон

$AB, BC, CA$ в точках

$C_0, A_0, B_0$ , соответственно. Пусть точка

$M$ — середина отрезка, соединяющего вершину

$C_0$ с точкой пересечения высот треугольника

$A_0B_0C_0$ , точка

$N$ — середина дуги

$ACB$ описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что прямая

$MN$ проходит через центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ . ( Ильясов С. )
комментарий/решение(7)

результаты