Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс
Найдите наибольшее возможное значение n. ( Сатылханов К. )
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Не теряя общности, будем считать, что x1≤x2≤…≤xn. Обозначим yi=√xi для i=1,2,…,n.
Лемма. Пусть a≥b≥c — такие действительные числа, что a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). Тогда √a≥√b+√c.
Доказательство. Из данного условия следует, что (a−b−c)2≥4bc, откуда a−b−c≥2√bc или b+c−a≥2√bc. Заметим, что b+c−a≤c<2√bc, значит a−b−c≥2√bc, следовательно √a≥√b+√c. Лемма доказана.
Предположим, что n≥7. Из условия задачи и леммы следует, что yi+2≥yi+1+yi для каждого i=1,2,…,n−2. Так как y1,y2≥1, то y3≥2, y4≥3, y5≥5, y6≥8, y7≥13, но по условию y7≤yn≤√160<13 — противоречие. Следовательно, n≤6.
В качестве примера подходят числа x1=x2=1, x3=4, x4=9, x5=25, x6=64. Действительно, при всех 1≤i≤j≤k≤6 выполняется неравенство √xk≥√xi+√xj, откуда следует, что x2i+x2j+x2k−2(xixj+xjxk+xkxi)=(xk−xi−xj)2−4xixj≥0.
Решение: Не теряя общности, считаем, что x1≤x2≤…≤xn.
Оценка: Покажем, что n≤6. Из условия задачи следует, что (xk−xi−xj)2=4xixj. Учитывая условие 1≤x1,x2,....,xn≤160, получим следующую цепочку неравенств
(xk−2xi)2≥(xk−xj−xi)2≥4xjxi≥4x2i,1≤i<j<k≤n
откуда следует, что xn≥4xi при всех i≤n−2. Заметим, что среди чисел x1,x2,....,xn не существует троика одинаковых чисел, противном случае x2j+x2k+x2i≤0. Используя последнее неравенство и утверждение, получим
160≥xn≥4xn−2>42xn−4≥...>4kxn−2k≥4k⟺160≥4k⟺k≤3
Откуда n=2k+1≤7. Предположим, что n=7. Тогда используя последнее неравенство, получим 64x1≤160⇒2x1≤5⇒...⇒x7>160. Противоречие. Следовательно, n≤6.
Пример: x1=x2=1,x3=4,x4=9,x5=25,x6=64.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.