Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Пусть $1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ — такие действительные числа, что $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ при любых $1 \le i < j < k \le n$.
 Найдите наибольшее возможное значение $n$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Не теряя общности, будем считать, что $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n$. Обозначим $y_i = \sqrt{x_i}$ для $i = 1, 2, \ldots, n$.
Лемма. Пусть $a \ge b \ge c$ — такие действительные числа, что $a^2 + b^2 + c^2 \ge 2(ab + bc + ca)$. Тогда $\sqrt{a} \ge \sqrt{b} + \sqrt{c}$.
Доказательство. Из данного условия следует, что $(a - b - c)^2 \ge 4bc$, откуда $a - b - c \ge 2 \sqrt{bc}$ или $b + c - a \ge 2 \sqrt{bc}$. Заметим, что $b + c - a \le c < 2 \sqrt{bc}$, значит $a - b - c \ge 2 \sqrt{bc}$, следовательно $\sqrt{a} \ge \sqrt{b} + \sqrt{c}$. Лемма доказана.
Предположим, что $n \ge 7$. Из условия задачи и леммы следует, что $y_{i+2} \ge y_{i+1} + y_i$ для каждого $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Так как $y_1, y_2 \ge 1$, то $y_3 \ge 2$, $y_4 \ge 3$, $y_5 \ge 5$, $y_6 \ge 8$, $y_7 \ge 13$, но по условию $y_7 \leq y_n \leq \sqrt{160} < 13$ — противоречие. Следовательно, $n \le 6$.
В качестве примера подходят числа $x_1 = x_2 = 1$, $x_3 = 4$, $x_4 = 9$, $x_5 = 25$, $x_6 = 64$. Действительно, при всех $1 \le i \le j \le k \le 6$ выполняется неравенство $\sqrt{x_k} \ge \sqrt{x_i} + \sqrt{x_j}$, откуда следует, что $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 - 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i) = (x_k - x_i - x_j)^2 - 4x_ix_j \ge 0$.

$\textbf{Решение:}$ Не теряя общности, считаем, что $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n$.

$\textbf{Оценка:}$ Покажем, что $n\leq 6$. Из условия задачи следует, что $(x_k-x_i-x_j)^2=4x_ix_j.$ Учитывая условие $1\leq x_1,x_2,....,x_n\leq 160$, получим следующую цепочку неравенств

$$(x_k-2x_i)^2\geq(x_k-x_{j}-x_i)^2\geq 4x_{j}x_i\geq 4x_i^2, \qquad 1\leq i<j<k\leq n $$

откуда следует, что $x_n\geq 4x_i$ при всех $i\leq n-2.$ Заметим, что среди чисел $x_1,x_2,....,x_n$ не существует троика одинаковых чисел, противном случае $x_j^2+x_k^2+x_i^2\leq 0$. Используя последнее неравенство и утверждение, получим

$$160\geq x_n\geq 4x_{n-2}> 4^2x_{n-4}\geq ...> 4^kx_{n-2k}\geq 4^k \quad \Longleftrightarrow \quad 160\geq 4^k \quad \Longleftrightarrow \quad k\leq 3$$

Откуда $n=2k+1\leq 7$. Предположим, что $n=7$. Тогда используя последнее неравенство, получим $64x_1\leq 160\Rightarrow 2x_1\leq 5\Rightarrow ... \Rightarrow x_7>160$. Противоречие. Следовательно, $n\leq 6$.

$\textbf{Пример:}$ $x_1 = x_2 = 1,x_3 = 4, x_4 = 9, x_5 = 25, x_6=64.$