Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Есеп №1. Бөлмеде

$n$ шам және

$k$ сөндіргіш бар. Басында әр шам немесе жанып, немесе сөндіріліп тұр. Әр шам сым арқылы дәл 2020 сөндіргішпен қосылған. Сөндіргішті басқан кезде, сол сөндіргішпен қосылған шам өз қалпын қарама-қарсы қалыпқа өзгертеді. Сөндіргіштерді қандай-да бір ретпен баса отырып, барлық шамдарды жанған қалыпқа келтіруге болатыны белгілі. Осы нәтижеге сөндіргіштерді

$[k/2]$ санынан аспайтын басу арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіз. Бұл жерде

$[x]$ саны — нақты

$x$ санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ -тен аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ нақты сандары үшін, және кез келген

$1 \le i < j < k \le n$ сандары үшін

$x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ теңсіздіктері орындалады.

$n$ санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Жай

$p$ саны мен натурал

$k$ және

$r$ сандары берілген, әрі

$r < p$ .

$p^p + 1$ саны

$pk + r$ санына бөлінетіні белгілі болса,

$k$ санының

$r$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB, BC, CA$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_0, A_0, B_0$ нүктелерінде жанайды.

$M$ нүктесі —

$C_0$ нүктесін

$A_0B_0C_0$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесімен қосатын кесіндінің ортасы, ал

$N$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы.

$MN$ түзуінің

$ABC$ -ға іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(7)

результаты