Зиманов Т.

Задача №1. В комнате есть $n$ ламп и $k$ выключателей. В начале каждая лампа может быть либо включенной, либо выключенной. Каждая лампа соединена проводом ровно с 2020 выключателями. Нажатие на выключатель изменяет на противоположное состояние каждой лампы, к которой он подключен проводом. Известно, что можно так понажимать на выключатели, что все лампы станут включенными. Докажите, что можно добиться того же результата не более, чем за $\left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ нажатий на выключатели. $\left \lfloor x \right \rfloor$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Дано натуральное число $n$. Пусть $p, q > n$ — нечетные простые числа. Докажите, что все натуральные числа от $1$ до $n$ можно покрасить в два цвета так, чтобы для любых различных одноцветных чисел $x, y$ число $(xy - 1)$ не делилось ни на $p$, ни на $q$. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение олимпиада