Зиманов Т.

Есеп №1. Бөлмеде

$n$ шам және

$k$ сөндіргіш бар. Басында әр шам немесе жанып, немесе сөндіріліп тұр. Әр шам сым арқылы дәл 2020 сөндіргішпен қосылған. Сөндіргішті басқан кезде, сол сөндіргішпен қосылған шам өз қалпын қарама-қарсы қалыпқа өзгертеді. Сөндіргіштерді қандай-да бір ретпен баса отырып, барлық шамдарды жанған қалыпқа келтіруге болатыны белгілі. Осы нәтижеге сөндіргіштерді

$[k/2]$ санынан аспайтын басу арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіз. Бұл жерде

$[x]$ саны — нақты

$x$ санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ -тен аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Натурал

$n$ саны берілген.

$p, q > n$ — тақ жай сандар. Кез келген бір түсті

$x\ne y$ сандары үшін

$(xy - 1)$ саны

$p$ -ға да,

$q$ -ға да бөлінбейтіндей етіп,

$1$ -ден

$n$ -ге дейінгі барлық натурал сандарды екі түрлі түске бояп шығуға болатынын дәлелдеңіз. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада