Зиманов Т.

Задача №1. В комнате есть

$n$ ламп и

$k$ выключателей. В начале каждая лампа может быть либо включенной, либо выключенной. Каждая лампа соединена проводом ровно с 2020 выключателями. Нажатие на выключатель изменяет на противоположное состояние каждой лампы, к которой он подключен проводом. Известно, что можно так понажимать на выключатели, что все лампы станут включенными. Докажите, что можно добиться того же результата не более, чем за

$\left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ нажатий на выключатели.

$\left \lfloor x \right \rfloor$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ . ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Дано натуральное число

$n$ . Пусть

$p, q > n$ — нечетные простые числа. Докажите, что все натуральные числа от

$1$ до

$n$ можно покрасить в два цвета так, чтобы для любых различных одноцветных чисел

$x, y$ число

$(xy - 1)$ не делилось ни на

$p$ , ни на

$q$ . ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада