Processing math: 11%

Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс


Найдите все натуральные n, k, a1,a2,,ak такие, что nk+1+1 делится на (na1+1)(na2+1)(nak+1). ( Ануарбеков Т. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
4 года 2 месяца назад #

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019

  11
1 года 4 месяца назад #

Пусть s=nk+1+1(na1+1)(na2+1)...(nak+1), тогда s\equiv 1 \pmod n, но s<\frac{n^{k+1}+1}{n^{k}}<n+1.

Следовательно, s=1 и n^{k+1}+1=\prod_{i=1}^{k}\left(na_{i}+1\right).

Если k=1, мы сразу получаем a_{1}=n.

Если k=2, мы получаем n^{3}+1=\left(na_{1}+1\right)\left(na_{2}+1\right), что эквивалентно na_ {1}a_{2}+a_{1}+a_{2}=n^{2}.

Итак, n|a_{1}+a_{2} и a_{1}a_{2}<n, поэтому \left(a_{1},a_{2}\right)=(1,n -1),(n-1,1).

Теперь предположим, что k\geq 3.

Если n=1, то мы легко видим, что дальнейших решений нет.

Если n=2, то k<4, поэтому k=3. Мы легко видим, что решений нет. Теперь предположим, что n\geq 3.

Мы легко видим \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}>n, поэтому n^{n^{2}+1}<\left(n+1 \right)^{n^{2}}. Следовательно, k<n^{2}.

Если существует 3 различных i таких, что a_{i}=1, то \left(n+1\right)^3|n^{k+1}+1.

Нетривиальными операциями получаем \left(n+1\right)^2|k+1, что означает k\geq n^2+2n. Итак, противоречие!

Следовательно, существует хотя бы k-2 различных i таких, что a_{i}\geq 2.

Если k\geq 5, мы легко видим, что a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\geq a_{1}+a_{2}+\cdots a_{k}.

Когда мы оцениваем обе стороны n^{k+1}+1=\prod_{i=1}^{k}\left(na_{i}+1\right), тогда n|a_{1} +a_{2}+\cdots a_{k}.

Это означает, что a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\geq n.

Но тогда n^{k+1}+1=\prod_{i=1}^{k}\left(na_{i}+1\right)>n^{k}a_{1}a_{2} \cdots a_{k}+1\geq n^{k+1}+1, противоречие.

n|a_{1}+a_{2}+\cdots a_{k} и a_{1}a_{2}\cdots a_{k}< n применимо к остальным случаям k=3, k=4 тоже.

Если k=3, то n+1\not|n^{4}+1, следовательно, a_{i}\geq 2 для всех i. Итак, мы легко видим, что решения нет.

Если k=4, то после грязной работы мы видим, что решения нет.

Следовательно, решения: \boxed{k=1,a_{1}=n} и \boxed{n\geq 2,k=2,\lbrace{a_{1},a_{2}\rbrace}= \lbrace{1,n-1\rbrace}}