қазақша
русскийАнуарбеков Т.
Задача №1. Докажите, что существуют бесконечно много составных натуральных чисел $n$, для которых число ${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ делится на $n$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №2. Пусть $p=9k+1$ — простое число, где число $k$ — натуральное. Докажите, что существует целое число $n$ такое, что ${{n}^{3}}-3n+1$ делится на $p$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Натуральное число $a$ и простое $p$ таковы, что НОД$(a,p!)=1$. Докажите, что ${{a}^{(p-1)!}}-1$ делится на $p!$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №4. Существуют ли простые числа $p$, $q$ и $r$ такие, что число $\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №5. Найдите все натуральные $n$, $k$, $a_1, a_2,\ldots, a_k$ такие, что $n^{k+1}+1$ делится на $(na_1+1)(na_2+1)\ldots(na_k+1)$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №6. Даны простое число $p$ и натуральные $k$ и $r$, причем $r < p$. Известно, что $p^p + 1$ делится на $pk + r$. Докажите, что $k$ делится на $r$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №7. Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}.$ Найдите наибольшее возможное значение $a$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №8. Решите уравнение в простых числах $p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr.$ ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №9. Пусть $a$ и $b$ — различные положительные целые числа такие, что $3^a + 2$ делится на $3^b + 2$. Докажите, что $a > b^2$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение олимпиада