Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс
В окружности ω диаметр AB и хорда CD перпендикулярны. Пусть M любая точка отрезка AC. Точка P -- основание перпендикуляра из точки C на прямую BM. Пусть окружность ω1, описанная около треугольника MPD, пересекает описанную окружность треугольника CPB во второй раз в точке Q (точки P и Q лежат по разные стороны от прямой AB). Прямая CD вторично ω1 в точке N. Докажите, что ∠CQN=∠BPN.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Так как MPNQ вписанный откуда ∠BPN=∠MQN=∠MDN так как AB - диаметр то BC=BD и так как CP⊥BM и H∈CP∩ω1 то MH -диаметр ω1 учитывая то что BD2=BC2=BP⋅BM то BD касательная к ω1 откуда ∠DMN=∠BDC=∠BCD или DMCR вписанный где R∈MN∩BC и так как ∠MPQ=∠MNQ то ∠BCQ=∠RNQ то есть RCNQ вписанный значит ∠BPN=∠MQN=∠MDN=∠MRC=∠CQN.
Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.