Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

В окружности $\omega$ диаметр $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны. Пусть $M$ любая точка отрезка $AC$. Точка $P$ -- основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Пусть окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $MPD$, пересекает описанную окружность треугольника $CPB$ во второй раз в точке $Q$ (точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Прямая $CD$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что $\angle CQN = \angle BPN$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Так как $MPNQ$ вписанный откуда $\angle BPN = \angle MQN = \angle MDN$ так как $AB$ - диаметр то $BC=BD$ и так как $CP \perp BM$ и $H \in CP \cap \omega_{1}$ то $MH$ -диаметр $ \omega_{1}$ учитывая то что $BD^2=BC^2=BP \cdot BM$ то $BD$ касательная к $\omega_{1}$ откуда $\angle DMN = \angle BDC = \angle BCD$ или $DMCR$ вписанный где $R \in MN \cap BC$ и так как $\angle MPQ = \angle MNQ$ то $\angle BCQ = \angle RNQ$ то есть $RCNQ$ вписанный значит $\angle BPN = \angle MQN = \angle MDN = \angle MRC = \angle CQN$.

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019