Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наибольшая. Окружность $\omega_1$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Окружность $\omega_2$ с центром в точке $C$ и радиусом $CB$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ вторично пересекаются в точке $D$. Прямая, параллельная $EF$ и проходящая через $B$, вторично пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $G$ и $T$ соответственно. Докажите, что $GT=DF+DE$. ( С. Полянских )

Комментарий/решение

админ! заметьте, тут должна была быть задача по геометрии

Спасибо! Теперь исправлено

Админ, запостите районку и ЗКО 2014

УРАААА ПОБЕДА

админ удалите мои комментарии под ЗКО кроме решений

Из условия $\angle BAC = \angle DAC = \angle BFD $ то есть $AFCD$ вписанный, аналогично $AECD$ тогда $ACDEF$ вписанный , получается $ \angle EFC = \angle DFC$ значит $\angle CFE = \angle FBG $ , откуда $BFGD$ равнобедренная трапеция или $DF=BF$ аналогично $DE = BT$ откуда $DF+DE=GB+BT = GT$