С. Полянских

Задача №1. Дана бесконечная клетчатая бумага с размером клеток

$1$ см. В узлах клеток отмечено

$2019$ точек так, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками равно натуральному числу сантиметров. Докажите, что больше

$333333$ из этих расстояний являются натуральными числами, которые делятся на

$3$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №2. В остроугольном треугольнике

$ABC$ сторона

$AC$ наибольшая. Окружность

$\omega_1$ с центром в точке

$A$ и радиусом

$AB$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$F$ . Окружность

$\omega_2$ с центром в точке

$C$ и радиусом

$CB$ пересекает сторону

$AB$ в точке

$E$ . Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ вторично пересекаются в точке

$D$ . Прямая, параллельная

$EF$ и проходящая через

$B$ , вторично пересекает окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$G$ и

$T$ соответственно. Докажите, что

$GT=DF+DE$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ сторона

$AC$ наибольшая. Окружность

$\omega_1$ с центром в точке

$A$ и радиусом

$AB$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$F$ . Окружность

$\omega_2$ с центром в точке

$C$ и радиусом

$CB$ пересекает сторону

$AB$ в точке

$E$ . Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ вторично пересекаются в точке

$D$ . Прямая, параллельная

$EF$ и проходящая через

$B$ , вторично пересекает окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$G$ и

$T$ соответственно. Докажите, что

$GT=DF+DE$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(6) олимпиада