Областная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Неугомонная Сестренка начертила остроугольный треугольник $ABC$ и провела в нем высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, которые пересеклись в точке $H$. Неугомонная Сестренка измерила длины трех отрезков $AH$, $BH$, $CH$ и записала результаты измерений на трех красных карточках. Не ограничившись этим, она измерила длины отрезков $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ и записала их на трех зеленых карточках. Желая развлечь Шустрого Братишку, не различающего красного и зеленого цветов, она передала ему все шесть карточек, предварительно перемешав их. Сможет ли Шустрый Братишка однозначно указать три красные карточки, если все шесть чисел, записанные на карточках, оказались различными? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )

Комментарий/решение

Найти три пары карточек так, чтобы произведение каждых пар были равны. Далее просто найти высоты $AA_1, BB_1, CC_1$ и из $S=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$ находятся отношения сторон. По теореме Ван-Обеля: $\frac{AH}{HA_1}= \frac{AC_1}{C_1B}+\frac{AB_1}{B_1C}$. Отношение в котором основание высоты делит сторону является отношение котангенсов углов у стороны, при этом отношение синусов известно, тогда отношение косинусов можно также просто найти из $\sin(x+y)=\sin x\cos y + \sin y \cos x=m\sin x= n \sin y$ (косинус явно выражается). Отношение известно в паре, поэтому одно больше, второе меньше. Разницу можно увидеть, а значит ответ положительный.