Областная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Ағаның мазасыз қарындасы сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышын салып, $H$ нүктесінде қиылысатын $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ биіктіктерін жүргізді. Кейін ол үш $AH$, $BH$, $CH$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, алынған өлшемдерді үш қызыл картаға жазды. Мұнымен шектелмей, ол $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, осы үш өлшемді үш жасыл картаға жазды. Қызыл және жасыл түсті ажырата алмайтын ағаның көңілін көтергісі келген қарындас карточкаларды араластырып, кейін барлық алты картаны ағасының алдына қойды. Егер алты картадағы барлық сандар әртүрлі болса, онда ағасы қай үш карта қызыл карта екенін таба ала ма? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )

Комментарий/решение

Найти три пары карточек так, чтобы произведение каждых пар были равны. Далее просто найти высоты $AA_1, BB_1, CC_1$ и из $S=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$ находятся отношения сторон. По теореме Ван-Обеля: $\frac{AH}{HA_1}= \frac{AC_1}{C_1B}+\frac{AB_1}{B_1C}$. Отношение в котором основание высоты делит сторону является отношение котангенсов углов у стороны, при этом отношение синусов известно, тогда отношение косинусов можно также просто найти из $\sin(x+y)=\sin x\cos y + \sin y \cos x=m\sin x= n \sin y$ (косинус явно выражается). Отношение известно в паре, поэтому одно больше, второе меньше. Разницу можно увидеть, а значит ответ положительный.