Областная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс
Неугомонная Сестренка начертила остроугольный треугольник ABC и провела в нем высоты AA1, BB1, CC1, которые пересеклись в точке H. Неугомонная Сестренка измерила длины трех отрезков AH, BH, CH и записала результаты измерений на трех красных карточках. Не ограничившись этим, она измерила длины отрезков HA1, HB1, HC1 и записала их на трех зеленых карточках. Желая развлечь Шустрого Братишку, не различающего красного и зеленого цветов, она передала ему все шесть карточек, предварительно перемешав их. Сможет ли Шустрый Братишка однозначно указать три красные карточки, если все шесть чисел, записанные на карточках, оказались различными?
(
Шакиев А.,
Хаджимуратов Н
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Найти три пары карточек так, чтобы произведение каждых пар были равны. Далее просто найти высоты AA1,BB1,CC1 и из S=aha/2=bhb/2=chc/2 находятся отношения сторон. По теореме Ван-Обеля: AHHA1=AC1C1B+AB1B1C. Отношение в котором основание высоты делит сторону является отношение котангенсов углов у стороны, при этом отношение синусов известно, тогда отношение косинусов можно также просто найти из sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx=msinx=nsiny (косинус явно выражается). Отношение известно в паре, поэтому одно больше, второе меньше. Разницу можно увидеть, а значит ответ положительный.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.