Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Обозначим через $c(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (включая единицу и само число). Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $4a^2+17=b^{c(b)}$. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )

Комментарий/решение

Рассматривая мо моду 4

можем узнать что $b^{c(b)}=1$ mod 4

тогда $b^{c(b)}$ нечетное

Тогда $b$ нечетное число

Лемма Х: если $b$ нечетное то $c(b)$ чётное

Доказательство:

$b=(p_1)(p_2)...(p_i)$

Где среди p могут быть равные.Тогда делители $b$ можно составлять по принцопу:умножить 1 на $p_i$ или не умножить

Таким образом кол-во делителей равно $2^i$

Сами делители нечетные,их кол-во чётное значит их сумма $c(b)$ чётное.

Из леммы Х следует что

$c(b)=2k,k-$ натуральное

$4a^2+17=b^{2k}$

$(b^k-2a)(b^k+2a)=17$

Обе скобки положительные иначе оба отрицательные что невозможно из второй скобки,тогда первая скобка меньше второй

и они будут равны $1$ и $17$ соответственно.

$b^k-2a=1$

$b^k+2a=17$

$2(b)^k=18$

$b^k=9 , b=3 , a=4$

Ответ: (4;3)

$4a^2+17 \equiv 1 \pmod {2},$ следовательно $b^{c(b)}$ нечетное, значит все его делители нечетные, если кол-во делителей четное, то $c(b)$ делится на 2, иначе получаем что т.к кол-во делителей нечетно, то $b$ - квадрат в обоих случаях получаем $b^{c(b)}=x^2$,

тогда, $4a^2+17=x^2$ и $(x-2a)(x+2a)=17$ т.к $17 \in \mathbb{P}$ то $x-2a=1, x+2a=17$.

Получаем $a=4$, тогда $b^{c(b)}=81$, значит $b$ - степень тройки, причем для 9, $b^{c(b)}>81$. Проверяем (4;3) и получаем верное равенство.

Ответ: (4;3)