Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. a) Если к десятичной записи простого числа $p$ приписать слева двойку, то получится простое число. Если же, вместо этого, приписать к ней единицу справа, то снова выйдет десятичная запись какого-то простого. Найдите все такие $p$.
b) Существует ли такое простое число, что если приписать к его десятичной записи слева число 2025 сколько угодно раз, всегда будет получаться простое? ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Задача №2. $A$ и $B$ играют в игру на клетчатой доске $100\times 100$. У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока $A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока $B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает $A$. За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок $A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока $B$, независимо от ходов второго игрока.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведенная в точке $C$, пересекает прямую $AB$ точке $D$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов $CAB$, $CBA$ и $CDA$, касается прямой $CD$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В равностороннем шестиугольнике $ABCDEF$ $\angle A=\angle B=\angle D=\angle E=150^\circ$ и $\angle C=\angle F=60^\circ$. Пусть $O$ — точка пересечения $AC$ и $BF$. Окружность с центром в точке $O$ проходит через точку $A$ и пересекает $CF$ в точках $P$ и $Q$, причем $FP < FQ$. Вычислите $FP/AB$. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(2)

Задача №5. В файл $A$ записаны 1014 попарно различных положительных чисел. В файл $B$ записаны все произведения $ab$, где $a$ и $b$ — два различных числа из файла $A$ (если для нескольких пар результат совпадает, то он записывается в файл $B$ ровно один раз; таким образом, все числа в файле $B$ попарно различны). Какое наименьшее количество чисел может содержать файл $B$? ( А. Мустафа )
комментарий/решение(6)

Задача №6. Обозначим через $c(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (включая единицу и само число). Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $4a^2+17=b^{c(b)}$. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2)