Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. a) Если к десятичной записи простого числа

$p$ приписать слева двойку, то получится простое число. Если же, вместо этого, приписать к ней единицу справа, то снова выйдет десятичная запись какого-то простого. Найдите все такие

$p$ .
b) Существует ли такое простое число, что если приписать к его десятичной записи слева число 2025 сколько угодно раз, всегда будет получаться простое? ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Задача №2.

$A$ и

$B$ играют в игру на клетчатой доске

$100\times 100$ . У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока

$A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока

$B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает

$A$ . За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок

$A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока

$B$ , независимо от ходов второго игрока.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Касательная к окружности, описанной около треугольника

$ABC$ , проведенная в точке

$C$ , пересекает прямую

$AB$ точке

$D$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов

$CAB$ ,

$CBA$ и

$CDA$ , касается прямой

$CD$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В равностороннем шестиугольнике

$ABCDEF$

$\angle A=\angle B=\angle D=\angle E=150^\circ$ и

$\angle C=\angle F=60^\circ$ . Пусть

$O$ — точка пересечения

$AC$ и

$BF$ . Окружность с центром в точке

$O$ проходит через точку

$A$ и пересекает

$CF$ в точках

$P$ и

$Q$ , причем

$FP < FQ$ . Вычислите

$FP/AB$ . ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(5)

Задача №5. В файл

$A$ записаны 1014 попарно различных положительных чисел. В файл

$B$ записаны все произведения

$ab$ , где

$a$ и

$b$ — два различных числа из файла

$A$ (если для нескольких пар результат совпадает, то он записывается в файл

$B$ ровно один раз; таким образом, все числа в файле

$B$ попарно различны). Какое наименьшее количество чисел может содержать файл

$B$ ? ( А. Мустафа )
комментарий/решение(6)

Задача №6. Обозначим через

$c(n)$ сумму всех делителей натурального числа

$n$ (включая единицу и само число). Найдите все пары

$(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

$4a^2+17=b^{c(b)}$ . ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2)