Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведенная в точке $C$, пересекает прямую $AB$ точке $D$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов $CAB$, $CBA$ и $CDA$, касается прямой $CD$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $\angle DBC = \beta$ и $\angle BAC = \alpha$,пусть биссектриса угла B и A пересекаются в точке K,B и D в точке E,A и D в точке F.

$\angle AFD = \angle KFE =\beta=\angle KCE$ т.к K инцентр треугольника ABC и Е инцентр треугольника BDC и F центр вневписанной окружности ADC напротив угла D.$\angle AKE =\alpha+\beta$ значит $\angle KCF =\alpha.\angle ECD=90^\circ-\alpha $ значит через счет углов $\angle EFC =90^\circ-\alpha$.

Б.О.О. $BC>AC$.Пусть биссектриса угла $B$ и $A$ пересекаются в точке $E$, биссектриса eukf $A$ и $D$ пересекаются в точке, биссектриса угла $B$ и $D$ пересекаются в точке $G$, $\angle ABC=2a; \angle BAC=2b\Longrightarrow \angle BCD=180-2b\Longrightarrow \angle ADF=\dfrac{\angle BDC}{2}=b-a\Longrightarrow \angle AFG=180-\angle FAD-\angle FDA=180-(180-b+b-a)=a=\angle ABG\Longrightarrow DA\cdot DB=DG\cdot DF=DC^2\blacksquare$

Биссектрисы углов $CAB-l_\alpha, CBA-l_\beta, CDB-l_\gamma$

$l_\alpha \cap l_\beta=L, l_\alpha \cap l_\gamma=M, l_\beta \cap l_\beta=K. \angle BAC= \alpha, \angle ABC= \beta, \angle BDC= \gamma$

$\angle AMC=90^\circ+\gamma, \angle BKC=90^\circ-\gamma \Rightarrow MLKC$ вписанный.

$\angle ACD= \angle ABC= 2\beta. \angle BCD =180- 4\beta-2\gamma \Rightarrow \beta+\gamma=\alpha. \angle BKM= \beta+\gamma=\alpha=\angle BAM \Rightarrow BAKM$ вписанный. Степень точки: $DC^2=DA×DB=DK×DM$