Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведенная в точке $C$, пересекает прямую $AB$ точке $D$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов $CAB$, $CBA$ и $CDA$, касается прямой $CD$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $\angle DBC = \beta$ и $\angle BAC = \alpha$,пусть биссектриса угла B и A пересекаются в точке K,B и D в точке E,A и D в точке F.

$\angle AFD = \angle KFE =\beta=\angle KCE$ т.к K инцентр треугольника ABC и Е инцентр треугольника BDC и F центр вневписанной окружности ADC напротив угла D.$\angle AKE =\alpha+\beta$ значит $\angle KCF =\alpha.\angle ECD=90^\circ-\alpha $ значит через счет углов $\angle EFC =90^\circ-\alpha$.