Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс
Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проведенная в точке C, пересекает прямую AB точке D. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов CAB, CBA и CDA, касается прямой CD.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ∠DBC=β и ∠BAC=α,пусть биссектриса угла B и A пересекаются в точке K,B и D в точке E,A и D в точке F.
∠AFD=∠KFE=β=∠KCE т.к K инцентр треугольника ABC и Е инцентр треугольника BDC и F центр вневписанной окружности ADC напротив угла D.∠AKE=α+β значит ∠KCF=α.∠ECD=90∘−α значит через счет углов ∠EFC=90∘−α.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.