Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

a) Если к десятичной записи простого числа $p$ приписать слева двойку, то получится простое число. Если же, вместо этого, приписать к ней единицу справа, то снова выйдет десятичная запись какого-то простого. Найдите все такие $p$.
   b) Существует ли такое простое число, что если приписать к его десятичной записи слева число 2025 сколько угодно раз, всегда будет получаться простое? ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Ответ. а

) p =3.b) Такого числа нет.

Решение. а) Дописывание слева двойки добавляет к сумме цифр р два, а допи-

сывание справа единицы один. Таким образом, согласно признаку делимости на 3, из трех чисел ровно одно делится на на 3. Второе и третье числа ми- нимум двузначные. Следовательно, они не могут делиться на 3, иначе бы были составными. Получаем, что p = 3 Проверка показывает, что числа 23 и 31 простые.

b) Допустим, что такое число (назовем его q )существует. Пусть q = = a(t) a (t - 1) ...a0 - его десятичная запись. Допишем к нему слева к раз число 2025. Согласно признаку делимости на 11, полученное число делится на 11 тогда, и только тогда, когда на 11 делится число

(2 + 0 + 2 - 5) * k + a_{t} -a t-1 +...+(-1)^ t a 0 =-k+a t -a t-1 +...+(-1)^ t a 0 .

Подставляя последовательно k = 1, 2 ,...,11, находим, что ровно одно из полу- ченных чисел будет делиться на 11. Оно минимум пятизначное и поэтому не может быть простым.

$a)$ $1) \overline{a_1a_2...a_n} \equiv 1 \pmod3 \Rightarrow \overline{a_1a_2...a_n}+2\cdot10^n \equiv 0 \pmod 0 \varnothing$

$2)\overline{a_1a_2...a_n} \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow \overline{a_1a_2...a_n}+1 \equiv 0 \pmod3 \varnothing$

$3)p=3 ;23; 31 \in P$

Ответ: Тольлко 3

$b)$$10^n \equiv\pm1 \pmod{11}; 2025\equiv1 \pmod{11}; \overline{a_1a_2...a_n}+10^n\cdot2025=\overline{2025a_1a_2...a_n}\equiv p\pm1\pmod{11}.$

Тут можно заметит что если следущий раз приписать его десятичной записи 2025 то добавляеться $10^{n+4}\cdot2025$ и $10^n; 10^{n+4k}$ одинаковый знак так как $10^4>0$. $1)$ $n \in even \Rightarrow 10^n\equiv \pmod 1 \Rightarrow \overline{a_1a_2...a_n}+10^{n}\cdot2025+10^{n+4}\cdot2025+...10^{n+4k}\cdot$$(11-p$ раз)$\equiv p+11-p=0 \pmod{11}$

$2)$ $n \in odd \Rightarrow 10^n\equiv -1 \pmod11 \Rightarrow \overline{a_1a_2...a_n}+10^n\cdot2025+10^{n+4}\cdot2025+...+10^{n+4k}\cdot2025($$p$

раз)$\equiv p-p=0 \pmod{11}$

Ответ: Не существует