Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

a) Если к десятичной записи простого числа $p$ приписать слева двойку, то получится простое число. Если же, вместо этого, приписать к ней единицу справа, то снова выйдет десятичная запись какого-то простого. Найдите все такие $p$.
   b) Существует ли такое простое число, что если приписать к его десятичной записи слева число 2025 сколько угодно раз, всегда будет получаться простое? ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Ответ. а

) p =3.b) Такого числа нет.

Решение. а) Дописывание слева двойки добавляет к сумме цифр р два, а допи-

сывание справа единицы один. Таким образом, согласно признаку делимости на 3, из трех чисел ровно одно делится на на 3. Второе и третье числа ми- нимум двузначные. Следовательно, они не могут делиться на 3, иначе бы были составными. Получаем, что p = 3 Проверка показывает, что числа 23 и 31 простые.

b) Допустим, что такое число (назовем его q )существует. Пусть q = = a(t) a (t - 1) ...a0 - его десятичная запись. Допишем к нему слева к раз число 2025. Согласно признаку делимости на 11, полученное число делится на 11 тогда, и только тогда, когда на 11 делится число

(2 + 0 + 2 - 5) * k + a_{t} -a t-1 +...+(-1)^ t a 0 =-k+a t -a t-1 +...+(-1)^ t a 0 .

Подставляя последовательно k = 1, 2 ,...,11, находим, что ровно одно из полу- ченных чисел будет делиться на 11. Оно минимум пятизначное и поэтому не может быть простым.