Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. a) Жай $p$ санының ондық жазуының сол жағына «2» цифрын тіркеп жазсақ, пайда болатын сан жай сан болады. Ал егер $p$ санының ондық жазуының оң жағына «1» цифрын тіркеп жазсақ, онда қайтадан жай сан аламыз. Осындай қасиетке ие барлық жай $p$ санын табыңыз.
b) Келесі шартты қанағаттандыратындай жай сан табылады ма? Бұл санның ондық жазуының сол жағына 2025 санын қанша рет тіркеп жазсақ та, әрдайым жай сан пайда болып отырады. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. $100\times 100$ өлшемді ұяшықты тақтада $A$ және $B$ ойыншылары ойын ойнауда. Әр ойыншыда бір дойбыдан бар. Ойынның басында $A$-ның дойбысы төменгі сол бұрыштағы ұяшықта, ал $B$-ның дойбысы төменгі оң жақ бұрыштағы ұяшықта тұр. Ойыншылар кезектесіп жүреді, ойынды $A$ ойыншысы бастайды. Бір жүрісте әр ойыншы өз дойбысын сол дойбы тұрған ұяшықтан, оған қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. $B$-ның ойынына қарамастан, $A$ ойыншысы шекті жүріс санында оның дойбысы $B$-ның дойбысы тұрған ұяшықта болатындай етіп жүре алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $CAB$, $CBA$ және $CDA$ бұрыштарының биссектрисалары шектейтін үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер $CD$ түзуімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Тең қабырғалы $ABCDEF$ алтыбұрышында $\angle A=\angle B=\angle D=\angle E=150^\circ$ және $\angle C=\angle F=60^\circ$ екені белгілі. $AC$ және $BF$ түзулері $O$ нүктесінде қиылыссын. Центрі $O$ болатын $A$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $CF$ түзуін $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды, мұнда $FP < FQ$. $FP/AB$ қатынасын есептеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. $A$ файлында кез келген екі сан әртүрлі болатындай 1014 оң сан жазылған. $B$ файлына барлық $ab$ көбейтіндісі жазылады, мұнда $a$ және $b$ сандары $A$ файлындағы әртүрлі екі сан (егер бірдей көбейтінді шықса, оның тек біреуі жазылады, осылайша, $B$ файлында да барлық сандар әртүрлі). $B$ файлында ең аз дегенде неше сан бола алады? ( А. Мустафа )
комментарий/решение(4)

Есеп №6. $c(n)$ арқылы натурал $n$ санының барлық (1-ді және санның өзін қоса алғанда) бөлгіштерінің қосындысын белгілейік. $4a^2+17=b^{c(b)}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2)