Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

Обозначим через $c(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (включая единицу и само число). Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $4a^2+17=b^{c(b)}$. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )

Комментарий/решение

$4a^2+17 \equiv 1 \pmod {2},$ следовательно $b^{c(b)}$ нечетное, значит все его делители нечетные, если кол-во делителей четное, то $c(b)$ делится на 2, иначе получаем что т.к кол-во делителей нечетно, то $b$ - квадрат в обоих случаях получаем $b^{c(b)}=x^2$,

тогда, $4a^2+17=x^2$ и $(x-2a)(x+2a)=17$ т.к $17 \in \mathbb{P}$ то $x-2a=1, x+2a=17$.

Получаем $a=4$, тогда $b^{c(b)}=81$, значит $b$ - степень тройки, причем для 9, $b^{c(b)}>81$. Проверяем (4;3) и получаем верное равенство.

Ответ: (4;3)