Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — описанные окружности треугольников $AEB$ и $CED$, соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_1$ выбрана точка $P$, а на дуге $CD$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_2$ выбрана точка $Q$ так, что $\angle AEP = \angle QED$. Отрезок $PQ$ пересекает $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $PX=QY$. ( Шакиев А. )

Комментарий/решение

Пусть прямая $PE$ пересекает $\omega2$ в точке $P1$ , а прямая $QE$ пересекает $\omega1$ в точке $Q1$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $\angle BEP$ = $\angle P1ED$ = $\beta$,

$\angle CEQ$ = $\angle AEQ$ = $\beta$

$\angle Q1EP$ = $\angle P1EQ$ = $\alpha$

Пусть также $\angle ABD$ = $\angle ACD$ = $\gamma$

Так как $\angle APE$ = $\angle ABE$ = $\gamma$ и $\angle Q1PA$ =$\angle Q1EA$ = $\beta$ следует , что $\angle Q1PE$ = $\beta+\gamma$

Аналогично $\angle EQP1$ = $\beta+\gamma$ (т.к.$\angle ECD$ = $\angle EQD$ = $\gamma$ и $\angle P1ED$ =$\angle P1QD$ = $\beta$)

Из этого следует, что $Q1PQP1$ - вписанный $(1)$

Заметим , что угол $\angle AEQ1$ = $\angle PAB$ = $\beta$ отсюда следует что $AQ1PB$ - равнобокая трапеция , аналогично $CQP1D$ - равнобокая трапеция $(2)$

Пусть $O$ - центр окружности Г, $O$ лежит на пересечении серперов к $AB$ и $CD$ , но так как $AQ1PB$ - равнобокая трапеция и $CQP1D$ - равнобокая трапеция , следует что $O$ это также пересечение серперов $Q1P$ и $P1Q$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $O$ - центр окружности $Q1PQP1$ $\Rightarrow$ $OP$ = $OQ$ $\Rightarrow$ $OP^2$ - $R^2$ = $OQ^2$ - $R^2$ $\Rightarrow$ $PX*PY$ = $QY*QX$ $\Rightarrow$ $PX = QY$