Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год
Комментарий/решение:
Пусть прямая PE пересекает ω2 в точке P1 , а прямая QE пересекает ω1 в точке Q1 ⇒
⇒ ∠BEP = ∠P1ED = β,
∠CEQ = ∠AEQ = β
∠Q1EP = ∠P1EQ = α
Пусть также ∠ABD = ∠ACD = γ
Так как ∠APE = ∠ABE = γ и ∠Q1PA =∠Q1EA = β следует , что ∠Q1PE = β+γ
Аналогично ∠EQP1 = β+γ (т.к.∠ECD = ∠EQD = γ и ∠P1ED =∠P1QD = β)
Из этого следует, что Q1PQP1 - вписанный (1)
Заметим , что угол ∠AEQ1 = ∠PAB = β отсюда следует что AQ1PB - равнобокая трапеция , аналогично CQP1D - равнобокая трапеция (2)
Пусть O - центр окружности Г, O лежит на пересечении серперов к AB и CD , но так как AQ1PB - равнобокая трапеция и CQP1D - равнобокая трапеция , следует что O это также пересечение серперов Q1P и P1Q ⇒
⇒ O - центр окружности Q1PQP1 ⇒ OP = OQ ⇒ OP2 - R2 = OQ2 - R2 ⇒ PX∗PY = QY∗QX ⇒ PX=QY
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.