Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год


Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Γ. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Пусть ω1 и ω2 — описанные окружности треугольников AEB и CED, соответственно. На дуге AB, не содержащей точку E, окружности ω1 выбрана точка P, а на дуге CD, не содержащей точку E, окружности ω2 выбрана точка Q так, что AEP=QED. Отрезок PQ пересекает Γ в точках X и Y. Докажите, что PX=QY. ( Шакиев А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 2 месяца назад #

Пусть прямая PE пересекает ω2 в точке P1 , а прямая QE пересекает ω1 в точке Q1

BEP = P1ED = β,

CEQ = AEQ = β

Q1EP = P1EQ = α

Пусть также ABD = ACD = γ

Так как APE = ABE = γ и Q1PA =Q1EA = β следует , что Q1PE = β+γ

Аналогично EQP1 = β+γ (т.к.ECD = EQD = γ и P1ED =P1QD = β)

Из этого следует, что Q1PQP1 - вписанный (1)

Заметим , что угол AEQ1 = PAB = β отсюда следует что AQ1PB - равнобокая трапеция , аналогично CQP1D - равнобокая трапеция (2)

Пусть O - центр окружности Г, O лежит на пересечении серперов к AB и CD , но так как AQ1PB - равнобокая трапеция и CQP1D - равнобокая трапеция , следует что O это также пересечение серперов Q1P и P1Q

O - центр окружности Q1PQP1 OP = OQ OP2 - R2 = OQ2 - R2 PXPY = QYQX PX=QY