Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Рассмотрим случай, когда $x=y$. Очевидно, что тогда единственное решение это пара $(1;1)$.

Пусть НОД$(x,y)=d$, и $x=dm, y=dn$, НОД$(d,n)=1.$

Тогда из первого условия $d | (dm)^3 + 1$, отсюда очевидно следует, что $d=1$ и (x,y) взаимнопросты.

Предположим, что $x$>$y$, в таком случае, поскольку задача симметрична относительно x и y, если пара $(x,y)$ - решение, то и $(y,x)$ - тоже.

Рассмотрев число $x^3+y^3+1$, легко понять, что оно делится на $(xy)^2$.

Рассмотрим пары вида $(x,x-1)$ до $x=4$. Это $(2;1), (3;2), (4;3)$.

В первой паре очевидно, что при x $\geq$ 2, 1+1 < x^2.

Вторая пара является решением, соотвественно и (2;3).

В третьей паре при x=4, $16 \nmid 27+1$, при $x=5$, $25 \nmid 27+1$, а при $x \geq 6$, $x^2 > 27 +1$.

Докажем, что в любой паре такого вида, при $x\geq 5$, $(x(x-1))^2 > x^3 + y^3 +1$.

$(!) x^2(x-1)^2 > x^3 + (x-1)^3 +1 \Leftrightarrow (!) x^2*(x-2)^2 > 3x \Leftarrow 3x<x^2<(x-2)^2*x^2. \blacksquare$

Остается лишь показать, что если в такой паре увеличивать $x$, то соотношение $x^2(x-1)^2 > x^3 + (x-1)^3 +1$ останется.

Для удобства будем рассматривать пару $(x+k, x)$, где x>=5, k>=2.

$(!) (x+k)^2*x^2 > (x+k)^3 + x^3 +1 \Leftrightarrow x^4 + 2kx^3 + k^2x^2-2x^3-3x^2k-3xk^2-k^3-1 > 756 > 0. \blacksquare$

Отсюда следует, что решений при $x\geq4$ нет, а значит единственные решения - $(1;1), (2;3), (3;2).$

Допустим $x=y$, то $x^{3}+1$ делится на $x^2$, и так как $x^3$ делится на $x^2$ то и $1$ делится на $x^2$, значит $x=y=1.$

Теперь допустим что $x^3+1=y^2$ (или наоборот, симметрично). Значит $y(x^3+1)=y^3$, а еще по второму выходит что $y^3\equiv -1(x^2)$, и так как $(x^3+1) \equiv 1(x^2)$ то $y(x^3+1)\equiv y \equiv -1(x^2).$

$y+1$ делится на $x^2 \rightarrow y \geq x^2-1 \rightarrow y^2 \geq (x^4-2x^2+1) \rightarrow (x^3+2x^2) \geq x^4 \rightarrow (x+2) \geq x^2.$ а при $x\geq 3$ по индукции это невозможно. Значит получаем ответы $x=2; y=3$ (или наоборот).

Значит получаем что $x>y$ и $y^3+1=x^2t$ где $t>1$ и $x>2.$ По первому получается $x^3 \equiv -1(y^2)$ и $x^3t \equiv -t(y^2).$ Так как $x^3t=x(y^3+1) \rightarrow x^3t \equiv x \equiv -t(y^2)$ и $x+t$ делится на $y^2$, значит $x+t \geq y^2.$ Легко доказываем что $xy>x+y$ значит $xy \geq x+y+1(y>t)\geq y^2+1 \rightarrow \frac{x^2t}{y}>xy$, противоречие.