Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Рассмотрим случай, когда x=y. Очевидно, что тогда единственное решение это пара (1;1).
Пусть НОД(x,y)=d, и x=dm,y=dn, НОД(d,n)=1.
Тогда из первого условия d|(dm)3+1, отсюда очевидно следует, что d=1 и (x,y) взаимнопросты.
Предположим, что x>y, в таком случае, поскольку задача симметрична относительно x и y, если пара (x,y) - решение, то и (y,x) - тоже.
Рассмотрев число x3+y3+1, легко понять, что оно делится на (xy)2.
Рассмотрим пары вида (x,x−1) до x=4. Это (2;1),(3;2),(4;3).
В первой паре очевидно, что при x ≥ 2, 1+1 < x^2.
Вторая пара является решением, соотвественно и (2;3).
В третьей паре при x=4, 16∤, при x=5, 25 \nmid 27+1, а при x \geq 6, x^2 > 27 +1.
Докажем, что в любой паре такого вида, при x\geq 5, (x(x-1))^2 > x^3 + y^3 +1.
(!) x^2(x-1)^2 > x^3 + (x-1)^3 +1 \Leftrightarrow (!) x^2*(x-2)^2 > 3x \Leftarrow 3x<x^2<(x-2)^2*x^2. \blacksquare
Остается лишь показать, что если в такой паре увеличивать x, то соотношение x^2(x-1)^2 > x^3 + (x-1)^3 +1 останется.
Для удобства будем рассматривать пару (x+k, x), где x>=5, k>=2.
(!) (x+k)^2*x^2 > (x+k)^3 + x^3 +1 \Leftrightarrow x^4 + 2kx^3 + k^2x^2-2x^3-3x^2k-3xk^2-k^3-1 > 756 > 0. \blacksquare
Отсюда следует, что решений при x\geq4 нет, а значит единственные решения - (1;1), (2;3), (3;2).
а зачем разбирать разницу как (x, x-1) или (x, x-2) если можно сразу перейти к (x+k, x) где x>5?
Допустим x=y, то x^{3}+1 делится на x^2, и так как x^3 делится на x^2 то и 1 делится на x^2, значит x=y=1.
Теперь допустим что x^3+1=y^2 (или наоборот, симметрично). Значит y(x^3+1)=y^3, а еще по второму выходит что y^3\equiv -1(x^2), и так как (x^3+1) \equiv 1(x^2) то y(x^3+1)\equiv y \equiv -1(x^2).
y+1 делится на x^2 \rightarrow y \geq x^2-1 \rightarrow y^2 \geq (x^4-2x^2+1) \rightarrow (x^3+2x^2) \geq x^4 \rightarrow (x+2) \geq x^2. а при x\geq 3 по индукции это невозможно. Значит получаем ответы x=2; y=3 (или наоборот).
Значит получаем что x>y и y^3+1=x^2t где t>1 и x>2. По первому получается x^3 \equiv -1(y^2) и x^3t \equiv -t(y^2). Так как x^3t=x(y^3+1) \rightarrow x^3t \equiv x \equiv -t(y^2) и x+t делится на y^2, значит x+t \geq y^2. Легко доказываем что xy>x+y значит xy \geq x+y+1(y>t)\geq y^2+1 \rightarrow \frac{x^2t}{y}>xy, противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.