Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ және

$c$ оң сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\sqrt{a^2 + 2 b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2} \ge \sqrt{3} (a + b + c).$
комментарий/решение(65)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle ABC = 120^\circ$ және оның

$AP$ ,

$BQ$ ,

$CR$ биссектрисалары

$I$ нүктесінде қиылысады.

$P$ нүктесінен

$CR$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$AC$ қабырғасын

$S$ , ал

$R$ нүктесінен

$AP$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$AC$ қабырғасын

$T$ нүктесінде қияды.
a)

$\angle TIS = 90^\circ$ ;
b)

$QS = QT$ екенін дәлелдеңіз. ( Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(6)

Есеп №3.

$x^3 + 1$ саны

$y^2$ -қа, ал

$y^3 +1$ саны

$x^2$ -қа бөлінетіндей барлық

$(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Горизонталь түзудің бойынан

$n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Екі көршілес қара түсті нүктелердің арасынан Арман вертикаль түзу жүргізеді және осы түзудің сол және оң жағында кем дегенде екі қара түсті нүктелер болуы керек. Сосын Арман вертикаль түзудің сол жағындағы барлық қара түсті нүктелерді көк түске бояйды, осыдан кейін осы түзудің оң жағындағы бір немесе екі қара түсті нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған қара түсті нүктелерді (егер олар болса) — жасыл түске бояйды. Арман, осылай әрекет жасап, осы нүктелерді әр түрлі 55 тәсілмен бояп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген? ( Жук В. )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$AB = AC$ және

$\angle BAC > 90^\circ$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$M$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте.

$BC$ түзуінің

$C$ нүктесінен әрі созыңдысынан

$D$ нүктесі алынған.

$DM$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері

$BC$ қабырғасын

$P$ және

$Q$ нүктесінде қияды.

$A$ ,

$P$ ,

$O$ және

$Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын табыңыз:
a)

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші

$1$ -ге тең;
b)

$ab$ саны

$p$ -ға бөлінбейді;
c)

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20)