Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Пусть a>=b>=c

Пусть c|a

(c,a)=c => b|a (работает и в обратную)

a+(b,c)=b+c

Раз уж a>=bc, то

bc+(b,c)<=b+c

Ответы: с=1, a=b

Забудем про первоначальную общность и введем новую:

Пусть (c, a)=d

(b, c)=m

(b, a)=n

Пусть max(d, m, n)=d

Тогда a+m=b+d=c+n

mod d

m=n, а иначе разность m-n не поделится на d

Раз уж (b,c)=(b,a), то можно спуститься, пока она не станет единичкой

a=c, b+c=c+1, b=1, по идее анологично изначальному ответу

Б.О.О, $a\ge b\ge c$.

Посчитаем, что $g=(a,b,c)=1$ (если это не так, то вынесем $g$ за скобки во всех уравнениях и сократим на него, получая аналогичные уравнение).

Заметим, что

$$a+(b,c)=b+(c,a) \iff a-b = (c,a) - (b,c) \implies (a,b)\mid (c,a)-(b,c).$$

Аналогично, $$(b,c)\mid (c,a)-(a,b), \qquad (a,c)\mid (a,b)-(b,c).$$

Обозначим $x=(a,b), \quad y=(b,c), \quad z=(c,a).$ Тогда $$x\mid y-z, \quad y \mid z-x, \quad z \mid x-y.$$ Так как $(a,b,c)=1$, получаем $(x,y)=1, \quad (y,z)=1, \quad (z,x)=1$

$$a+y=b+z=c+x \implies 0 \le a-b= z-y \implies z\le y.$$

Аналогично, получаем $1\le z\le y\le x.$

Тогда $x \mid z-y \implies x\le z-y \le x-1$. Поэтому $z-y=0 \implies z=y.$ Так как $(y,z)=1$, получаем, что $y=z=1.$

Подставляя в начальное уравнение, $a=b \implies (a,b)=a \implies c=1.$

Для взаимно простых чисел получили $a = b$ и $c = 1$. Домножая на $g = (a, b, c)$, получаем тройки вида $a = b = g \cdot x$ и $c = g. \qquad \blacksquare$