қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан треугольник $ABC$ и пусть $G$ — центроид, точка пересечения медиан. Известно, что точка симметричная точке $G$ относительно $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите отношение $AG/BC$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Докажите, что для любых действительных $a$, $b$ справедливо неравенство $a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №4. Сколькими способами можно заполнить цифрами $0, 1, \ldots, 9$ (можно с повторениями) таблицу $3\times 3$ так, чтобы сумма цифр в каждой строке и каждом столбце равнялась 5?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)