Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Задача №1. Найдите все натуральные

$a,b,c$ такие, что

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ . Здесь

$(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел

$x$ и

$y$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ и пусть

$G$ — центроид, точка пересечения медиан. Известно, что точка симметричная точке

$G$ относительно

$BC$ лежит на описанной окружности треугольника

$ABC$ . Найдите отношение

$AG/BC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Докажите, что для любых действительных

$a$ ,

$b$ справедливо неравенство

$a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$ .
комментарий/решение(8)

Задача №4. Сколькими способами можно заполнить цифрами

$0, 1, \ldots, 9$ (можно с повторениями) таблицу

$3\times 3$ так, чтобы сумма цифр в каждой строке и каждом столбце равнялась 5?
комментарий/решение(2)