Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 11 сынып


Кез келген нақты a, b сандары үшiн келесi теңсiздiктi дәледеңiз a2+141ab+5476b25a+1364b512.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2 года 2 месяца назад #

Подсказка: не пытаться добить до адекватного неравенства))

Промежуток большой

  0
2 года 2 месяца назад #

хорошо сказано,

решение: Рассмотрите дискриминант уравнения через a, он всегда не положителен ибо равен (b2023)2 (вроде), значит эта функция либо всегда положительная либо всегда отрицательная и может быть равно 0 в какой то точке. так как вначале коэффициент у a2 положителен, функция всегда положительна, что и требовалось доказать.

  3
2 года 2 месяца назад #

где ест официальное решение ?

  1
2 года 2 месяца назад #

это и есть официальное решение

пред. Правка 2   1
2 года 2 месяца назад #

Задача 3. Докажите, что для любых действительных а, b справедливо неравенство

а2+141аb+5476b2≥ 5а+1364b-512

Шешуі: 1) Алдымен а мен b-ның қандай мәндерінде теңдік орындалатынын анықтайық

а2+141аb+5476b2 = 5а+1364b-512

b=1, а2 +136а+4624 = ( а+68)2

( а+68)2 =0 ⇒ а = -68, яғни а = -68, b = 1 болғанда теңдік орындалады.

2) Берілген теңсіздікті түрлендіріп жазайық.

( а-74b)2 +512>5а + 1364b – 289аb. Егер а – 74b = 0 болса,

онда min ((а-74b)2 +512) = 512

3) а = 74b. 10693b2 – 867b + 256>0

өйткені Д <0

b = 1/74 а, 289а2 – 1734а + 37888>0

өйткені Д <0

Қорытынды : а ≠ 74b, b ≠ 1/74 а жағдайда ( а-74b)2 >0, демек а мен b- ның кез-келген мәндерінде берілген теңсіздік орындалады. д.к.о.е.

Амангелді Садыков

  0
2 года 2 месяца назад #

Сол жағына өткізсек: a2141ab+5476b25a1364b+5120.

z=x2141xy+5476y25x1364y+512 функциясын қарастырайық.

Осы функцияның минимумын табайық:

Ол үшін дербес туындыларды табамыз:

zx=2x+141y5,zy=10952y+141x1364.

Стационар нүктелерді табу үшін туындыларды нөлге теңеп теңдеулер жүйесін шешу керек.

{2x+141y5=0,141x+10952y1364=0.

Теңдеулер жүйесінің шешімі: x=68,y=1. Онда M(68;1).

Екінші ретті дербес туындыларды есептейік:

A=zxx(M),B=zxy(M),C=zyy(M).

A=zxx(M)=2,B=zxx(M)=141,C=zyy(M)=10952.

Егер ACB2>0 болса M нүктесінде экстремум болады және егер A>0 болса минимум, A<0 болса онда максимум болады.

ACB2=2109521412=2023>0 және A=2>0. Онда M нүктесі минимум болады. Орнына қойып есептесек: zmin=z(M)=(68)2141168+547612+56813641+512=0.

Онда a2141ab+5476b25a1364b+5120 теңсіздігі орындалады және теңдік a=68,b=1 болғанда болады.

  2
2 года назад #

a2+141ab+5476b25a+1364b512

4(a2+141ab+5476b2)4(5a+1364b512)0

(2a+141b5)2+2023(b1)20

  1
2 года назад #

вот блииин, а оказывается просто надо было собрать вот в такие легчайшие и очевидные квадраты!