Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
хорошо сказано,
решение: Рассмотрите дискриминант уравнения через a, он всегда не положителен ибо равен −(b−2023)2 (вроде), значит эта функция либо всегда положительная либо всегда отрицательная и может быть равно 0 в какой то точке. так как вначале коэффициент у a2 положителен, функция всегда положительна, что и требовалось доказать.
Задача 3. Докажите, что для любых действительных а, b справедливо неравенство
а2+141аb+5476b2≥ 5а+1364b-512
Шешуі: 1) Алдымен а мен b-ның қандай мәндерінде теңдік орындалатынын анықтайық
а2+141аb+5476b2 = 5а+1364b-512
b=1, а2 +136а+4624 = ( а+68)2
( а+68)2 =0 ⇒ а = -68, яғни а = -68, b = 1 болғанда теңдік орындалады.
2) Берілген теңсіздікті түрлендіріп жазайық.
( а-74b)2 +512>5а + 1364b – 289аb. Егер а – 74b = 0 болса,
онда min ((а-74b)2 +512) = 512
3) а = 74b. 10693b2 – 867b + 256>0
өйткені Д <0
b = 1/74 а, 289а2 – 1734а + 37888>0
өйткені Д <0
Қорытынды : а ≠ 74b, b ≠ 1/74 а жағдайда ( а-74b)2 >0, демек а мен b- ның кез-келген мәндерінде берілген теңсіздік орындалады. д.к.о.е.
Амангелді Садыков
Сол жағына өткізсек: a2−141ab+5476b2−5a−1364b+512≥0.
z=x2−141xy+5476y2−5x−1364y+512 функциясын қарастырайық.
Осы функцияның минимумын табайық:
Ол үшін дербес туындыларды табамыз:
zx=2x+141y−5,zy=10952y+141x−1364.
Стационар нүктелерді табу үшін туындыларды нөлге теңеп теңдеулер жүйесін шешу керек.
{2x+141y−5=0,141x+10952y−1364=0.
Теңдеулер жүйесінің шешімі: x=−68,y=1. Онда M(−68;1).
Екінші ретті дербес туындыларды есептейік:
A=zxx(M),B=zxy(M),C=zyy(M).
A=zxx(M)=2,B=zxx(M)=141,C=zyy(M)=10952.
Егер AC−B2>0 болса M нүктесінде экстремум болады және егер A>0 болса минимум, A<0 болса онда максимум болады.
AC−B2=2⋅10952−1412=2023>0 және A=2>0. Онда M нүктесі минимум болады. Орнына қойып есептесек: zmin=z(M)=(−68)2−141⋅1⋅68+5476⋅12+5⋅68−1364⋅1+512=0.
Онда a2−141ab+5476b2−5a−1364b+512≥0 теңсіздігі орындалады және теңдік a=−68,b=1 болғанда болады.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.