Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$ и пусть $G$ — центроид, точка пересечения медиан. Известно, что точка симметричная точке $G$ относительно $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите отношение $AG/BC$.

Комментарий/решение

Подсказка: доказать, что симметричная точка G относительно M, где M - середина BC также будет лежать на окружности. Дальше степень точки M

Ответ 1/3.

Пусть К - точка симметричная G относительно BC.

Треугольник GBK - равнобедрянный, значит ∠KAC = ∠KBC = ∠GBC = x , анолагично ∠KAB = ∠KCB = ∠GCB = y

A1, B1, C1 вершины медиан, P - пересечение AK со стороной BC.

Получаем четырехугольники ABPB1 и ACPC1 вписанные.

Значит ∠PAB1 = PC1C = ∠KAC = x,

∠PAC1 = ∠PB1B = ∠KAB = y

∠APB = ∠AB1B, ∠APC = ∠AC1C.

Очевидно что ∠APB + ∠APC = 180

Значит четырехугольник AB1GC1 вписанный

B1C1 параллелен BC

∠GBC = ∠GB1C1 = x, ∠GCB = ∠GC1B1 = y

AB1PC1 вписанный значит ∠C1AG = ∠BAG = ∠C1B1G = x, ∠B1AG = ∠B1C1G = ∠CAG = y

∠BAG = ∠CBG

Значит BA1 - касательная к описанной окружности около треугольника ABG

BC = 2a, BA1 = a. По свойству центроида A1G = b, AA1 = 3b

Используя степень точки a^2 = 3x^2

AG/BC = 2x/2a = 4x^2/4a^2 = 4x^2/12x^2 = 1/3

Жауабы: $\dfrac{AG}{BC} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ Шешуі

1) Берілген $ABC$ үшбұрышы центрі белгілі бір $O$ нүктесі радиусы $R$-ге тең болатын шеңберге іштей сызылған және қабырғаларының бірі $BC = \sqrt{3}R$ ал $AK$ оның медианасы болсын, $BK=CK$, $G\in AK$. $AB\neq BC \neq AC$

2) $K$ нүктесі арқылы $BC$ қабырғасына жүргізілген перпендикуляр түзу $O$ нүктесі арқылы өтеді және шенбермен қандайда бір $D$ мен $O$ нүктесінде қиылысады, олай болса $BC=BD=CD$ , яғни $D$ - $BC$-дегі АВС- мен бір қабырғасы ортақ шеңберге іштей сызылған тең қабырғалы үшбұрыш болады.

3) $OK=O/K$, $GE=G/E$, $E\in BC$ мұндағы $O/$ пен $G/$ шеңбер бойында жатқан нүктелер болып табылады. $S_{BC}(O)=0$, $S_{BC}(G)=G$

$OD=R$, $OD/BC=\dfrac{R}{R\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

4) $OA=OD<AG$ болуы мүмкін емес, өйткені $A$ нүктесі шеңбер бойында жатыр және $\angle ABC<\angle DBC$

$O/K>G/E$ олай болса, $OK>GE$ бұдан $O/O > G/G$, яғни $OD> GG/$, $GK> GE$ ендеше $AG>GG/$ осыдан $OD – AG > O$ немесе $AG – OD < O$ демек, $OD> AG$ ендеше $\dfrac{AG}{BC} < \dfrac{OD}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ яғни $\dfrac{AG}{BC} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$