Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Давайте возьмем точки $E$ и $D$ на отрезках $AB$ и $AC$ Заметим что $AK, CE, BD$ это чевианы треугольника $ABC$ которые пересекаются в одной точке. Тогда по Теореме Чевы : $AD/DC * CK/KB * BE/AE =1$ . Сократив равные стороны у нас выходит что $AD= AE$. Теперь по теореме Биссектрис у нас выходит что $(AD+DC)/CK = (AE+EB)/KB.$ Из этого у нас выходит что $AE+EB=AD+DC$, а эти суммы это и есть стороны $AB$ и $AC.$

1).Үшбұрыш АВС тең бүйірлі, яғни АВ = ВС болсын деп ұйғарайық, олай болса ВК=СК

2).Есеп шарты бойынша ЕВ = ВК, СД = СК, ендеше ЕВ = СД. Демек, ЕВСД төртбұрышы тең бүйірлі трапеция болып табылады

3).ВД∩АК = 0 болсын, онда ЕС∩АК = 0 болады, өйткені ЕВ = СД. Сонымен ЕВСД төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесі АК түзуінің бойында жатады.

Қорытынды: Жасалған ұйғарым дұрыс, демек АВ = АС. д.к.о.е.

Амангелді Садықов