Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышында $AK$ биссектрисасы жүргiзiлген. $AB$ және $AC$ түзулерiнен сәйкесiнше $E$ және $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) нүктелерi алынған. $E$ және $D$ нүктелерi $BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және $EB = BK$, $CD = CK$. Егер $EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi $AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда $AB$ = $AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Давайте возьмем точки $E$ и $D$ на отрезках $AB$ и $AC$ Заметим что $AK, CE, BD$ это чевианы треугольника $ABC$ которые пересекаются в одной точке. Тогда по Теореме Чевы : $AD/DC * CK/KB * BE/AE =1$ . Сократив равные стороны у нас выходит что $AD= AE$. Теперь по теореме Биссектрис у нас выходит что $(AD+DC)/CK = (AE+EB)/KB.$ Из этого у нас выходит что $AE+EB=AD+DC$, а эти суммы это и есть стороны $AB$ и $AC.$

1).Үшбұрыш АВС тең бүйірлі, яғни АВ = ВС болсын деп ұйғарайық, олай болса ВК=СК

2).Есеп шарты бойынша ЕВ = ВК, СД = СК, ендеше ЕВ = СД. Демек, ЕВСД төртбұрышы тең бүйірлі трапеция болып табылады

3).ВД∩АК = 0 болсын, онда ЕС∩АК = 0 болады, өйткені ЕВ = СД. Сонымен ЕВСД төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесі АК түзуінің бойында жатады.

Қорытынды: Жасалған ұйғарым дұрыс, демек АВ = АС. д.к.о.е.

Амангелді Садықов