қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2022}$ — натуральные числа. Для каждой пары чисел $a_i$, $a_j$ при $i < j$ выписываются числа $a_i + a_j$, $a_ia_j$ и $|a_i - a_j|$. Найдите наибольшее возможное значение количества нечётных чисел среди выписанных.
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №4. Докажите, что для любых действительных $a$, $b$ справедливо неравенство $a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)