Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 10 класс

Задача №1. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AK$ . На прямой

$AB$ и

$AC$ выбраны точки

$E$ ,

$D$ (

$E \ne A$ ,

$D \ne A$ ) соответственно. Оказалось, что точки

$E$ ,

$D$ лежат по одну сторону от прямой

$BC$ и

$EB = BK$ ,

$CD = CK$ . Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника

$EBCD$ лежит на прямой

$AK$ то

$AB = AC$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все натуральные

$a,b,c$ такие, что

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ . Здесь

$(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел

$x$ и

$y$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2022}$ — натуральные числа. Для каждой пары чисел

$a_i$ ,

$a_j$ при

$i < j$ выписываются числа

$a_i + a_j$ ,

$a_ia_j$ и

$|a_i - a_j|$ . Найдите наибольшее возможное значение количества нечётных чисел среди выписанных.
комментарий/решение(9)

Задача №4. Докажите, что для любых действительных

$a$ ,

$b$ справедливо неравенство

$a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$ .
комментарий/решение(1)