Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$AK$ биссектрисасы жүргiзiлген.

$AB$ және

$AC$ түзулерiнен сәйкесiнше

$E$ және

$D$ (

$E \ne A$ ,

$D \ne A$ ) нүктелерi алынған.

$E$ және

$D$ нүктелерi

$BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және

$EB = BK$ ,

$CD = CK$ . Егер

$EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi

$AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда

$AB$ =

$AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал

$a$ ,

$b,$

$c$ табыңыз. Бұл жердегi

$(x,y)$ ---

$x$ және

$y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2022}$ натурал сандар болсын. Кез келген екi

$a_i$ ,

$a_j$

$(i < j)$ сандары үшiн

$a_i + a_j$ ,

$a_ia_j$ және

$|a_i - a_j |$ сандары жазылып алынады. Жазылып алынған сандардың iшiнде ең көп дегенде қанша сан тақ сан болатынын табыңыз.
комментарий/решение(9)

Есеп №4. Кез келген нақты

$a$ ,

$b$ сандары үшiн келесi теңсiздiктi дәледеңiз

$a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512.$
комментарий/решение(1)