Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Задача №1. B прямоугольном треугольнике

$ABC$

$(\angle C=90^{\circ})$ проведена высота

$CH.$ Из точки

$H$ опустили перпендикуляры

$HP$ и

$HQ$ на стороны

$AC$ и

$BC$ соответственно. На прямой

$PQ$ выбрали произвольную точку

$M$ . Прямая, проходящая через точку

$M$ перпендикулярно

$MH$ , пересекает прямые

$AC$ и

$BC$ в точках

$R$ и

$S$ соответственно. Пусть

$M_{1} \in (PQ)$ — другая точка, отличная от

$M$ . Аналогично для

$M_{1}$ определим соответствующие точки

$R_{1}$ и

$S_{1}$ . Докажите, что отношение

$\frac{RR_1}{SS_1}$ постоянно.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дано некоторое простое число

$p$ . Для каждого целого числа

$a$ ,

$1 < a < \frac{p}{2}$ , найдется такое целое число

$b$ , что

$\frac{p}{2} < b < p$ и

$ab-1$ делится на

$p$ . Найдите все такие

$p$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19)

Задача №3. Для натурального числа

$A$ , определим

$Z(A)$ как число

$A$ , записанное в обратном порядке (например,

$Z(521)=125$ ). Число

$A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и

$(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$ . Найдите все «хорошие» числа большие

$10^{6}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. На биссектрисах смежных углов выбраны точки

$P$ и

$Q$ , из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов:

$PA,$

$PB,$

$QC,$

$QD$ . Докажите, что прямые

$AB$ ,

$CD$ и

$PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(6)

Задача №5. Положительные числа

$a, b, c$ таковы, что

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$ . Докажите, что

$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7)

Задача №6. Дана таблица

$35 \times 35$ , в клетках которой случайным образом расставлены числа от 1 до 49, причем каждое число

$i$ использовалось

$i$ раз. Из таблицы наудачу удаляются некоторые клетки, после чего она распадается на связные по сторонам клетчатые многоугольники. Из них выбирается один с наибольшей площадью (если таких несколько, то берется случайный). Какое наибольшее количество клеток можно было удалить из таблицы, чтобы некоторое число гарантированно встретилось в выбранном многоугольнике хотя бы 15 раз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(1)

результаты