Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Задача №1. B прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$ проведена высота $CH.$ Из точки $H$ опустили перпендикуляры $HP$ и $HQ$ на стороны $AC$ и $BC$ соответственно. На прямой $PQ$ выбрали произвольную точку $M$. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно $MH$, пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Пусть $M_{1} \in (PQ)$ — другая точка, отличная от $M$. Аналогично для $M_{1}$ определим соответствующие точки $R_{1}$ и $S_{1}$. Докажите, что отношение $\frac{RR_1}{SS_1}$ постоянно.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дано некоторое простое число $p$. Для каждого целого числа $a$, $1 < a < \frac{p}{2}$, найдется такое целое число $b$, что $\frac{p}{2} < b < p$ и $ab-1$ делится на $p$. Найдите все такие $p$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19)

Задача №3. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. На биссектрисах смежных углов выбраны точки $P$ и $Q$, из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов: $PA,$ $PB,$ $QC,$ $QD$. Докажите, что прямые $AB$, $CD$ и $PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(5)

Задача №5. Положительные числа $a, b, c$ таковы, что $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$. Докажите, что $\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7)

Задача №6. Дана таблица $35 \times 35$, в клетках которой случайным образом расставлены числа от 1 до 49, причем каждое число $i$ использовалось $i$ раз. Из таблицы наудачу удаляются некоторые клетки, после чего она распадается на связные по сторонам клетчатые многоугольники. Из них выбирается один с наибольшей площадью (если таких несколько, то берется случайный). Какое наибольшее количество клеток можно было удалить из таблицы, чтобы некоторое число гарантированно встретилось в выбранном многоугольнике хотя бы 15 раз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение

результаты