Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Пусть OP,OQ - биссектрисы, из условия задачи ODQC,OBPA вписанные, откуда CD||OP, AB||OQ, PB||DQ если E∈DQ∩OP.
Задача сводится к такой:
Имеется прямоугольный треугольник ∠EOQ=90∘ , пусть OD высота и DN||EO, BH||OQ, PB||EQ и F∈BH∩DN, H∈EQ тогда нужно доказать что P,F,Q лежат на одной прямой.
Доказательство: если I∈OD∩PQ тогда по т. Менелая OIID=QEQD⋅POEP=QOQN⋅OBBD , пусть X∈QP∩DN тогда по т. Менелая OIID=QOQN⋅XNXD тогда OBBD=XNXD то есть X=F.
Пусть OP = a, OQ = b, и ∠BOP = sinα, Y = AB∩PQ. Нужно доказать что C,D,Y на одной прямой ⇔ OP ∥ CY.
Пусть ∠OPY = β и X = AB∩OP. Тогда XY = asin2α×sinβcosbeta. Легко понять что BX = asinα×cosα,
OC = bsinα, и OB = acosα.
Докажем что XYBX = COBO:
⇔ a×sin2α×sinβcosβasinα×cosα = b×sinαa×cosα ⇔ ab = cosβsinβ
Что верно из того что △POQ прямоугольный. Отсюда следует что OP∥CY ч.т.д.
Пусть AB∩CD=X,OQ∩CD=N,OP∩AB=M, где O является вершиной смежных углов. Заметим, что QC2=QN⋅QO, откуда Q лежит на радикальной оси (MNOX) и (CXB). Аналогично P лежит на той же самой радикальной оси. Из-за того, что радикальная ось является прямой верно, что X лежит на PQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.