Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


На биссектрисах смежных углов выбраны точки P и Q, из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов: PA, PB, QC, QD. Докажите, что прямые AB, CD и PQ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2 года 11 месяца назад #

Это баян

  8
2 года 1 месяца назад #

Откуда?

пред. Правка 4   3
2 года 11 месяца назад #

Пусть OP,OQ - биссектрисы, из условия задачи ODQC,OBPA вписанные, откуда CD||OP, AB||OQ, PB||DQ если EDQOP.

Задача сводится к такой:

Имеется прямоугольный треугольник EOQ=90 , пусть OD высота и DN||EO, BH||OQ, PB||EQ и FBHDN, HEQ тогда нужно доказать что P,F,Q лежат на одной прямой.

Доказательство: если IODPQ тогда по т. Менелая OIID=QEQDPOEP=QOQNOBBD , пусть XQPDN тогда по т. Менелая OIID=QOQNXNXD тогда OBBD=XNXD то есть X=F.

  0
2 года 11 месяца назад #

Я не понял

  6
1 года 1 месяца назад #

Пусть OP = a, OQ = b, и BOP = sinα, Y = ABPQ. Нужно доказать что C,D,Y на одной прямой OP CY.

Пусть OPY = β и X = ABOP. Тогда XY = asin2α×sinβcosbeta. Легко понять что BX = asinα×cosα,

OC = bsinα, и OB = acosα.

Докажем что XYBX = COBO:

a×sin2α×sinβcosβasinα×cosα = b×sinαa×cosα ab = cosβsinβ

Что верно из того что POQ прямоугольный. Отсюда следует что OPCY ч.т.д.

  0
2 месяца 28 дней назад #

Пусть ABCD=X,OQCD=N,OPAB=M, где O является вершиной смежных углов. Заметим, что QC2=QNQO, откуда Q лежит на радикальной оси (MNOX) и (CXB). Аналогично P лежит на той же самой радикальной оси. Из-за того, что радикальная ось является прямой верно, что X лежит на PQ.