Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

На биссектрисах смежных углов выбраны точки $P$ и $Q$, из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов: $PA,$ $PB,$ $QC,$ $QD$. Докажите, что прямые $AB$, $CD$ и $PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )

Комментарий/решение

Это баян

Откуда?

Пусть $OP, OQ$ - биссектрисы, из условия задачи $ODQC, OBPA$ вписанные, откуда $CD || OP , \ AB || OQ, \ PB || DQ$ если $E \in DQ \cap OP$.

Задача сводится к такой:

Имеется прямоугольный треугольник $ \angle EOQ = 90^{\circ}$ , пусть $OD$ высота и $DN || EO, \ BH || OQ, \ PB || EQ$ и $F \in BH \cap DN, \ H \in EQ$ тогда нужно доказать что $P,F,Q$ лежат на одной прямой.

Доказательство: если $I \in OD \cap PQ$ тогда по т. Менелая $\dfrac{OI}{ID} = \dfrac{QE}{QD} \cdot \dfrac{PO}{EP} = \dfrac{QO}{QN} \cdot \dfrac{OB}{BD} $ , пусть $X \in QP \cap DN$ тогда по т. Менелая $\dfrac{OI}{ID} = \dfrac{QO}{QN} \cdot \dfrac{XN}{XD}$ тогда $\dfrac{OB}{BD} = \dfrac{XN}{XD}$ то есть $X=F$.

Я не понял

Пусть $OP$ $=$ $a$, $OQ$ $=$ $b$, и $\angle BOP$ $=$ $\sin \alpha$, $Y$ $=$ $AB \cap PQ$. Нужно доказать что $C, D, Y$ на одной прямой $\Leftrightarrow$ $OP$ $\parallel$ $CY$.

Пусть $\angle OPY$ $=$ $\beta$ и $X$ $=$ $AB \cap OP$. Тогда $XY$ $=$ $\dfrac{a\sin^2 \alpha×sin \beta}{\cos beta}$. Легко понять что $BX$ $=$ $a sin\alpha × cos\alpha$,

$OC$ $=$ $b sin\alpha$, и $OB$ $=$ $acos\alpha$.

Докажем что $\dfrac{XY}{BX}$ $=$ $\dfrac{CO}{BO}$:

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{a ×\dfrac{\sin^2 \alpha × \sin \beta}{\cos \beta} }{a \sin \alpha × \cos \alpha}$ $=$ $\dfrac{b× \sin \alpha}{a×\cos \alpha}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{a}{b}$ $=$ $\dfrac{\cos \beta}{\sin \beta}$

Что верно из того что $\triangle POQ$ прямоугольный. Отсюда следует что $OP \parallel CY$ ч.т.д.

Пусть $AB\cap CD=X, OQ\cap CD=N, OP\cap AB=M$, где $O$ является вершиной смежных углов. Заметим, что $QC^2=QN\cdot QO$, откуда $Q$ лежит на радикальной оси $(MNOX)$ и $(CXB)$. Аналогично $P$ лежит на той же самой радикальной оси. Из-за того, что радикальная ось является прямой верно, что $X$ лежит на $PQ$.