Конаныхин А.

Задача №1. Окружность

$\omega$ , проходящая через вершины

$A$ и

$B$ треугольника

$ABC$ , пересекает стороны

$AC$ и

$BC$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Окружность

$\Gamma$ касается отрезка

$EF$ в точке

$P$ и дуги

$AB$ описанной окружности треугольника

$ABC$ в точке

$Q$ . Докажите, что

$C$ ,

$P$ ,

$Q$ лежат на одной прямой. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №2. На биссектрисах смежных углов выбраны точки

$P$ и

$Q$ , из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов:

$PA,$

$PB,$

$QC,$

$QD$ . Докажите, что прямые

$AB$ ,

$CD$ и

$PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №3. Дана таблица

$35 \times 35$ , в клетках которой случайным образом расставлены числа от 1 до 49, причем каждое число

$i$ использовалось

$i$ раз. Из таблицы наудачу удаляются некоторые клетки, после чего она распадается на связные по сторонам клетчатые многоугольники. Из них выбирается один с наибольшей площадью (если таких несколько, то берется случайный). Какое наибольшее количество клеток можно было удалить из таблицы, чтобы некоторое число гарантированно встретилось в выбранном многоугольнике хотя бы 15 раз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(1) олимпиада