Конаныхин А.

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$B$ төберелінен өтетін

$\omega$ шеңбері

$AC$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$\Gamma$ шеңбері

$EF$ кесіндісін

$P$ нүктесінде және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$AB$ доғасын

$Q$ нүктесінде жанайды.

$C,\ P,\ Q$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №2. На биссектрисах смежных углов выбраны точки

$P$ и

$Q$ , из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов:

$PA,$

$PB,$

$QC,$

$QD$ . Докажите, что прямые

$AB$ ,

$CD$ и

$PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №3. Дана таблица

$35 \times 35$ , в клетках которой случайным образом расставлены числа от 1 до 49, причем каждое число

$i$ использовалось

$i$ раз. Из таблицы наудачу удаляются некоторые клетки, после чего она распадается на связные по сторонам клетчатые многоугольники. Из них выбирается один с наибольшей площадью (если таких несколько, то берется случайный). Какое наибольшее количество клеток можно было удалить из таблицы, чтобы некоторое число гарантированно встретилось в выбранном многоугольнике хотя бы 15 раз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(1) олимпиада