қазақша
русскийКонаныхин А.
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төберелінен өтетін $\omega$ шеңбері $AC$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $\Gamma$ шеңбері $EF$ кесіндісін $P$ нүктесінде және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $AB$ доғасын $Q$ нүктесінде жанайды. $C,\ P,\ Q$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №2. На биссектрисах смежных углов выбраны точки $P$ и $Q$, из которых опущены перпендикуляры на стороны этих смежных углов: $PA,$ $PB,$ $QC,$ $QD$. Докажите, что прямые $AB$, $CD$ и $PQ$ пересекаются в одной точке. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №3. Дана таблица $35 \times 35$, в клетках которой случайным образом расставлены числа от 1 до 49, причем каждое число $i$ использовалось $i$ раз. Из таблицы наудачу удаляются некоторые клетки, после чего она распадается на связные по сторонам клетчатые многоугольники. Из них выбирается один с наибольшей площадью (если таких несколько, то берется случайный). Какое наибольшее количество клеток можно было удалить из таблицы, чтобы некоторое число гарантированно встретилось в выбранном многоугольнике хотя бы 15 раз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение олимпиада