Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год

Задача №1. Найдите все такие положительные целые

$m$ , для которых найдется пара различных положительных целых чисел

$a,b$ , что числа

${{2017}^{{{2018}^{a}}}}+{{m}^{{{2018}^{a}}}}$ и

${{2017}^{{{2018}^{b}}}}+{{m}^{{{2018}^{b}}}}$ не взаимно просты.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан выпуклый n-угольник

$M$ . Пусть

$k$ – наименьшее число точек, которое можно отметить внутри

$M$ так, чтобы внутри любого пятиугольника, вершины которого являются вершинами

$M$ , оказалось ровно 3 точки из отмеченных. Докажите, что

$k\ge n-2$ . («внутри» означает строго внутри, не на границе) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Окружность

$\omega$ , проходящая через вершины

$A$ и

$B$ треугольника

$ABC$ , пересекает стороны

$AC$ и

$BC$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Окружность

$\Gamma$ касается отрезка

$EF$ в точке

$P$ и дуги

$AB$ описанной окружности треугольника

$ABC$ в точке

$Q$ . Докажите, что

$C$ ,

$P$ ,

$Q$ лежат на одной прямой. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(4)

Задача №4. Найдите все функции

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ , удовлетворяющие следующим условиям:
(a) существует бесконечно много попарно различных конечных множеств

$S$ таких, что для любого

$k\in S$ ,

$f\left( k \right)$ также

$\in S$ ;
(b) для любых различных

$m,n\in \mathbb{N}.$

$m-n | f\left( m \right)-f\left( n \right)$ . (Знак «|» означает делит; по другому, если

$a|b$ , то

$b$ делится на

$a$ .) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)