Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год

Есеп №1.

${2017}^{{2018}^a}+m^{{2018}^a}$ және

${2017}^{{2018}^b}+m^{{2018}^b}$ сандары өзара жәй болмайтындай

$a$ және

$b$ оң бүтін сандар жұбы табылатындай, барлық

$m$ оң бүтін сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$М$ – дөңес

$n$ бұрышты көпбұрышы берілген. Төбелері

$M$ -ң төбелерінде болатын кез-келген бесбұрыштың ішінде белгіленген дәл 3 нүкте жататындай етіп,

$M$ -ң ішіне белгілеуге болатын нүктелердің ең аз саны

$k$ болсын.

$k \geq n-2$ болатынын дәлелдеңіз. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$B$ төберелінен өтетін

$\omega$ шеңбері

$AC$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$\Gamma$ шеңбері

$EF$ кесіндісін

$P$ нүктесінде және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$AB$ доғасын

$Q$ нүктесінде жанайды.

$C,\ P,\ Q$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ функцияларын табыңыз:
(а) кез-келген

$k\in S$ үшін,

$f\left(k\right)\in S$ болатындай шексіз көп әртүрлі ақырлы

$S$ жиындары табылады;
(b) кез-келген әртүрлі

$m,n\in\mathbb{N}$ үшін

$m-n\ \ |\ \ f\left(m\right)-f(n).$
(«|» бөледі дегенді білдіреді; басқаша айтқанда:

$a|b$ болса, онда

$b$ саны

$a$ -ға бөлінеді) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)