Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год


Окружность ω, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC в точках E и F соответственно. Окружность Γ касается отрезка EF в точке P и дуги AB описанной окружности треугольника ABC в точке Q. Докажите, что C, P, Q лежат на одной прямой. ( Конаныхин А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим точки пересечения прямой EF с описанной окружностью ABC через M,N. Докажем, что AC – биссектриса MAN. MAE=CNE=α (одна дуга), CAB=CFE=β (вписанный ABFE), BCN=βα=BAN (одна дуга) CAN=β(βα)=α. Значит, C – середина дуги MN. По лемме Архимеда QP является биссектрисой MQN, а значит, Q,P,C лежат на одной прямой.

  1
3 года 10 месяца назад #

Автор этой задачи пользователь matol - amatysten. Наверное прикольное чувство когда ты видишь своё имя на сайте где когда-то ты постил решение.

  1
3 года 10 месяца назад #

поднялся так сказать

пред. Правка 3   2
2 года 3 месяца назад #

Достаточно проверить что C образ P при гомотетии с центром в точке Q переводящию ω в (ABC) для этого достаточно проверить паралелность касательной в точке C к (ABC) и EF Провидем касательную l к (ABC) в точке C Тогда (l;AC)=ABC=CEF значит lEF