Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год
Окружность ω, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC в точках E и F соответственно. Окружность Γ касается отрезка EF в точке P и дуги AB описанной окружности треугольника ABC в точке Q. Докажите, что C, P, Q лежат на одной прямой.
(
Конаныхин А.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Обозначим точки пересечения прямой EF с описанной окружностью ABC через M,N. Докажем, что AC – биссектриса ∠MAN. ∠MAE=∠CNE=α (одна дуга), ∠CAB=∠CFE=β (вписанный ABFE), ∠BCN=β−α=∠BAN (одна дуга) ⇒ ∠CAN=β−(β−α)=α. Значит, C – середина дуги MN. По лемме Архимеда QP является биссектрисой ∠MQN, а значит, Q,P,C лежат на одной прямой.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.