Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год

Найдите все такие положительные целые $m$, для которых найдется пара различных положительных целых чисел $a,b$, что числа ${{2017}^{{{2018}^{a}}}}+{{m}^{{{2018}^{a}}}}$ и ${{2017}^{{{2018}^{b}}}}+{{m}^{{{2018}^{b}}}}$ не взаимно просты.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $m=2k-1, m=2017k$.
Очевидно, что если $m$ нечетное или делится на $2017$, то числа не будут взаимно простыми при любых $a,b$.
Далее, предположим что оба числа делятся на некоторое простое $p$ для каких-то $b > a$. Тогда ${{m}^{{{2018}^{a}}}}\equiv -{{2017}^{{{2018}^{a}}}} \left( \mod p \right)$. Возведем оба числа в степень ${{2018}^{b-a}}$, при этом остатки также будут равны, т.к. возведение в степень является умножением чисел на себя, при котором сравнимость сохраняется: ${{\left( {{m}^{{{2018}^{a}}}} \right)}^{{{2018}^{b-a}}}}={{m}^{{{2018}^{b}}}}\equiv {{2017}^{{{2018}^{b}}}}={{\left( -{{2017}^{{{2018}^{a}}}} \right)}^{{{2018}^{b-a}}}}$. Но с другой стороны из предположения, ${{m}^{{{2018}^{b}}}}\equiv -{{2017}^{{{2018}^{b}}}}$, значит $2\times {{2017}^{{{2018}^{b}}}}\equiv 0 \left( \mod p \right)$, что возможно только если $p=2$ или $2017$, т.к. $2017 $. В свою очередь, это возможно только если $m$ нечетное или делится на $2017$.