Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


B прямоугольном треугольнике ABC (C=90) проведена высота CH. Из точки H опустили перпендикуляры HP и HQ на стороны AC и BC соответственно. На прямой PQ выбрали произвольную точку M. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно MH, пересекает прямые AC и BC в точках R и S соответственно. Пусть M1(PQ) — другая точка, отличная от M. Аналогично для M1 определим соответствующие точки R1 и S1. Докажите, что отношение RR1SS1 постоянно.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 11 месяца назад #

Из условия выходит что PHM1R1 и QHS1M1 тогда CR1H=PM1H=QS1H откуда R1CHS1=a вписанный, PHCQ прямоугольник , тогда HCQ=PQC=M1QB и HBC=90HCQ то есть CHR1=QHM1=HBS1=b аналогично RHA=MHP=SHC=c и HRA=HSC=HMP=90abc откуда QS1=HQctga, QS=HQtg(a+b+c) и PR1=HPctga, PR=HPtg(a+b+c)

откуда RR1SS1=PR1+PRQS1+QS=HPHQ=BCAC

  0
2 года 11 месяца назад #

Я не понял

  0
9 месяца 17 дней назад #

Понятно что HM1PR1 и HMRP вписаны отсюда HRS=HPQ=HR1S1 и аналогично HS1R1=HSR значит H центр поворотной гомотетии переводящий треугольник HR1S1 в HRS и так как H точка микеля самопересекающего четырехугольника значит H будет центром поворотной гомотетии переводящий HR1R в HS1S значит R1RS1S=HPHQ