Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
B прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90∘) проведена высота CH. Из точки H опустили перпендикуляры HP и HQ на стороны AC и BC соответственно. На прямой PQ выбрали произвольную точку M. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно MH, пересекает прямые AC и BC в точках R и S соответственно. Пусть M1∈(PQ) — другая точка, отличная от M. Аналогично для M1 определим соответствующие точки R1 и S1. Докажите, что отношение RR1SS1 постоянно.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из условия выходит что PHM1R1 и QHS1M1 тогда ∠CR1H=∠PM1H=∠QS1H откуда R1CHS1=a вписанный, PHCQ прямоугольник , тогда ∠HCQ=∠PQC=∠M1QB и ∠HBC=90∘−∠HCQ то есть ∠CHR1=∠QHM1=∠HBS1=b аналогично ∠RHA=∠MHP=∠SHC=c и ∠HRA=∠HSC=∠HMP=90∘−a−b−c откуда QS1=HQ⋅ctga, QS=HQ⋅tg(a+b+c) и PR1=HP⋅ctga, PR=HP⋅tg(a+b+c)
откуда RR1SS1=PR1+PRQS1+QS=HPHQ=BCAC
Понятно что HM1PR1 и HMRP вписаны отсюда ∠HRS=∠HPQ=∠HR1S1 и аналогично ∠HS1R1=∠HSR значит H центр поворотной гомотетии переводящий треугольник HR1S1 в HRS и так как H точка микеля самопересекающего четырехугольника значит H будет центром поворотной гомотетии переводящий HR1R в HS1S значит R1RS1S=HPHQ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.