Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Из условия выходит что $PHM_{1}R_{1}$ и $QHS_{1}M_{1}$ тогда $\angle CR_{1}H = \angle PM_{1}H = \angle QS_{1}H$ откуда $R_{1}CHS_{1} = a $ вписанный, $PHCQ$ прямоугольник , тогда $\angle HCQ = \angle PQC = \angle M_{1}QB$ и $\angle HBC = 90^{\circ} - \angle HCQ$ то есть $\angle CHR_{1} = \angle QHM_{1} = \angle HBS_{1} = b $ аналогично $\angle RHA = \angle MHP = \angle SHC = c $ и $\angle HRA = \angle HSC = \angle HMP = 90^{\circ}-a-b-c$ откуда $ QS_{1} = HQ \cdot ctga, \ QS = HQ \cdot tg(a+b+c)$ и $PR_{1} = HP \cdot ctga , \ PR = HP \cdot tg(a+b+c)$
откуда $\dfrac{RR_{1}}{SS_{1}} = \dfrac{ PR_{1}+ PR}{QS_{1}+QS} = \dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{BC}{AC}$
Понятно что $HM_1PR_1$ и $HMRP$ вписаны отсюда $\angle HRS=\angle HPQ=\angle HR_1S_1$ и аналогично $\angle HS_1R_1=\angle HSR$ значит $H$ центр поворотной гомотетии переводящий треугольник $HR_1S_1$ в $HRS$ и так как $H$ точка микеля самопересекающего четырехугольника значит $H$ будет центром поворотной гомотетии переводящий $HR_1R$ в $HS_1S$ значит $\frac{R_1R}{S_1S}= \frac{HP}{HQ}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.