Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

B прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$ проведена высота $CH.$ Из точки $H$ опустили перпендикуляры $HP$ и $HQ$ на стороны $AC$ и $BC$ соответственно. На прямой $PQ$ выбрали произвольную точку $M$. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно $MH$, пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Пусть $M_{1} \in (PQ)$ — другая точка, отличная от $M$. Аналогично для $M_{1}$ определим соответствующие точки $R_{1}$ и $S_{1}$. Докажите, что отношение $\frac{RR_1}{SS_1}$ постоянно.

Комментарий/решение

Из условия выходит что $PHM_{1}R_{1}$ и $QHS_{1}M_{1}$ тогда $\angle CR_{1}H = \angle PM_{1}H = \angle QS_{1}H$ откуда $R_{1}CHS_{1} = a $ вписанный, $PHCQ$ прямоугольник , тогда $\angle HCQ = \angle PQC = \angle M_{1}QB$ и $\angle HBC = 90^{\circ} - \angle HCQ$ то есть $\angle CHR_{1} = \angle QHM_{1} = \angle HBS_{1} = b $ аналогично $\angle RHA = \angle MHP = \angle SHC = c $ и $\angle HRA = \angle HSC = \angle HMP = 90^{\circ}-a-b-c$ откуда $ QS_{1} = HQ \cdot ctga, \ QS = HQ \cdot tg(a+b+c)$ и $PR_{1} = HP \cdot ctga , \ PR = HP \cdot tg(a+b+c)$

откуда $\dfrac{RR_{1}}{SS_{1}} = \dfrac{ PR_{1}+ PR}{QS_{1}+QS} = \dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{BC}{AC}$

Я не понял

Понятно что $HM_1PR_1$ и $HMRP$ вписаны отсюда $\angle HRS=\angle HPQ=\angle HR_1S_1$ и аналогично $\angle HS_1R_1=\angle HSR$ значит $H$ центр поворотной гомотетии переводящий треугольник $HR_1S_1$ в $HRS$ и так как $H$ точка микеля самопересекающего четырехугольника значит $H$ будет центром поворотной гомотетии переводящий $HR_1R$ в $HS_1S$ значит $\frac{R_1R}{S_1S}= \frac{HP}{HQ}$

Пусть $CAB = c$, $MHQ = b$, $M1HP = a$. Тогда, посчитав уголки через вписанность, поймем, что

\[R1RH = 90 - c + b, \quad R1HR = 90 - a - b, \quad RR1H = a + c, \]

\[SHB = b, \quad HS1S = a + c, \quad S1SH = 90 - c + b, \quad S1HS = 90 - a - b.\]

Тогда, если $AH = x$, $BH = y$, то через теорему синусов в треугольниках $R1AH$ и $RR1H$ выводим, что

\[RR1 = \frac{x \cdot \sin(c) \cdot \cos(a+b)}{\sin(a+c) \cdot \cos(c-b)},\]

и аналогично находим, что

\[SS1 = \frac{y \cdot \cos(c) \cdot \cos(a+b)}{\cos(c-b) \cdot \sin(a+c)}.\]

Т.е.

\[\frac{RR1}{SS1} = \frac{x \cdot \sin(c)}{y \cdot \cos(c)},\]

что фиксированное.