Processing math: 25%

Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


Положительные числа a,b,c таковы, что a+b+c. Докажите, что \dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}. ( Аубекеров Д. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2 года 11 месяца назад #

∑ a³/(a²+b) ≥ ∑(a³+ab-ab)/(a²+b)= ∑a- ∑ab/(a²+b) ≥ ∑a- ∑ab/2a√b=∑a- ∑√b/2 ≥(∑√a)²/3- ∑ √a/2 = (∑ √a)( ∑√a/3-1/2) ≥ 3*(3/3-1/2)= 3/2

  0
2 года 11 месяца назад #

бро пиши на латехе, о нем можно узнать в правилах матола

  5
2 года 11 месяца назад #

У меня уже было написано такое решение, просто вставил сюда. Вот на латехе:

\sum \limits_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} \frac{a^3+ab-ab}{a^2+b} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{2a\sqrt{b}} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{b}}{2} \geq \frac{(\sum \limits_{cyc} \sqrt{a})^2}{3}-\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{2} = (\sum \limits_{cyc} \sqrt{a}) \cdot (\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{3}-\frac{1}{2}) \geq 3 \cdot (\frac{3}{3}-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

  3
2 года 11 месяца назад #

Туймаада 2013

  0
2 года 11 месяца назад #

френдли фаер

  7
2 года 11 месяца назад #

Это баян

  3
2 года 11 месяца назад #

Стандартный есеп. Шығару жолы да ескі.