Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
Положительные числа $a, b, c$ таковы, что $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$. Докажите, что $\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}.$
(
Аубекеров Д.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
У меня уже было написано такое решение, просто вставил сюда. Вот на латехе:
$\sum \limits_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} \frac{a^3+ab-ab}{a^2+b} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{2a\sqrt{b}} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{b}}{2} \geq \frac{(\sum \limits_{cyc} \sqrt{a})^2}{3}-\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{2} = (\sum \limits_{cyc} \sqrt{a}) \cdot (\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{3}-\frac{1}{2}) \geq 3 \cdot (\frac{3}{3}-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.