Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Положительные числа $a, b, c$ таковы, что $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$. Докажите, что $\frac{a^{3}}{a^{2}+b}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \frac{3}{2}.$ ( Аубекеров Д. )

Комментарий/решение

∑ a³/(a²+b) ≥ ∑(a³+ab-ab)/(a²+b)= ∑a- ∑ab/(a²+b) ≥ ∑a- ∑ab/2a√b=∑a- ∑√b/2 ≥(∑√a)²/3- ∑ √a/2 = (∑ √a)( ∑√a/3-1/2) ≥ 3*(3/3-1/2)= 3/2

бро пиши на латехе, о нем можно узнать в правилах матола

У меня уже было написано такое решение, просто вставил сюда. Вот на латехе:

$\sum \limits_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} \frac{a^3+ab-ab}{a^2+b} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b} \geq \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{ab}{2a\sqrt{b}} = \sum \limits_{cyc} a - \sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{b}}{2} \geq \frac{(\sum \limits_{cyc} \sqrt{a})^2}{3}-\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{2} = (\sum \limits_{cyc} \sqrt{a}) \cdot (\sum \limits_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{3}-\frac{1}{2}) \geq 3 \cdot (\frac{3}{3}-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Туймаада 2013

френдли фаер

Это баян

Стандартный есеп. Шығару жолы да ескі.